Exercício 4: Considere a função g definida por
g(x)=\left\{\begin{array}{lr} x^{2} & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } x>1 \end{array}\right.
Calcule os limites laterais e verifique se a função possui limite quando x tende a 1. Caso exista limite, qual é este limite? (Resp.: 1)

Passo 1

O enunciado define a função g\) por \[g(x)= \begin{cases} x^{2},&\text{se }x\le1,\\\\ 2x-1,&\text{se }x>1. \end{cases}
Queremos calcular os limites laterais em x=1\] e verificar se existe \(\lim_{x\to1}g(x). Para isso, usaremos o fato de que, em cada ramo, g é dada por uma função polinomial contínua.

Passo 2

Cálculo do limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}g(x)=\lim_{x\to1^-}x^2.
Como x^2 é contínua, basta substituir x=1:
\lim_{x\to1^-}g(x)=1^2=1.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita:
\lim_{x\to1^+}g(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1).
Como 2x-1 é contínua, basta substituir x=1:
\lim_{x\to1^+}g(x)=2\cdot1-1=1.

Passo 4

Os limites laterais coincidem:
\lim_{x\to1^-}g(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}g(x)=1.
Logo, o limite \lim_{x\to1}g(x) existe e é igual a 1.

Resposta

O limite de g(x) quando x tende a 1 é 1.

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