Calcule as integrais por integração por partes:
\int e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível:
  • Pede calcular a integral \displaystyle \int e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big)\,dx.
  • Informação dada: a função integranda é e^{x} multiplicada por \operatorname{sen}\big(e^{x}\big).
  • O enunciado solicitou o uso da integração por partes. Vou usar esse método (mesmo havendo uma substituição direta mais simples), explicando cada passo com calma.

Passo 2

Fórmula de integração por partes (a “fórmula mágica”) e o que cada símbolo significa:
  • A fórmula é \displaystyle \int u\,dv = u v - \int v\,du.
  • Aqui:
    • u é uma função escolhida que vamos derivar para obter du.
    • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
    • du é a diferencial de u (a derivada de u vezes dx).
    • v é uma primitiva (uma antiderivada) de dv.
A ideia: escolhemos u e dv para transformar uma integral difícil numa que dê para resolver (às vezes precisamos aplicar o método mais de uma vez).

Passo 3

Escolha de u e dv para este problema e cálculo de du e v:
  • Vou definir
    u=\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big), \qquad dv=e^{x}\,dx.
    Justificação rápida da escolha: dv=e^{x}\,dx é fácil de integrar (porque a primitiva de e^{x} é e^{x}). A outra parte, embora pareça complicada, ao derivar gera um fator e^{x} que nos permite fazer uma substituição depois.
  • Calcular v: integrar dv
    v=\int e^{x}\,dx = e^{x}.
  • Calcular du: derivar u usando a regra da cadeia.
    • Derivada de \operatorname{sen}(z) em relação a z é \cos(z).
    • Aqui z=e^{x}, cuja derivada é e^{x}.
    • Então
    du = \frac{d}{dx}\!\big(\operatorname{sen}(e^{x})\big)\,dx = \cos\!\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}\,dx.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
  • Seja I=\displaystyle \int e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big)\,dx.
  • Pela fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du, substituindo nossas escolhas: I = e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) - \int e^{x}\cdot\big(\cos\!\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}\big)\,dx.
  • Simplificando dentro da integral: I = e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) - \int e^{2x}\,\cos\!\big(e^{x}\big)\,dx.
  • Para organizar, chamo a integral restante de J=\int e^{2x}\,\cos\!\big(e^{x}\big)\,dx,de modo que I = e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) - J.

Passo 5

Simplificar J por substituição (explicando passo a passo a substituição):
  • Faço a substituição natural t = e^{x}. Então: dt = e^{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{dt}{t}.
  • Expressar e^{2x} em termos de t: e^{2x}=(e^{x})^{2}=t^{2}.
  • Assim, J = \int e^{2x}\,\cos\!\big(e^{x}\big)\,dx = \int t^{2}\cos(t)\cdot\frac{dt}{t} = \int t\cos(t)\,dt.
  • Observação: ao substituir a integral ficou em termos de t e agora é \displaystyle \int t\cos(t)\,dt, que é uma integral padrão e resolve-se bem por integração por partes.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int t\cos(t)\,dt por integração por partes (detalhando a escolha):
  • Seja K=\displaystyle \int t\cos(t)\,dt.
  • Escolho: a=t,\qquad db=\cos(t)\,dt.(aqui usei letras diferentes só para variar a notação; corresponde a u e dv da fórmula).
  • Então da=dt e b=\int \cos(t)\,dt = \sin(t).
  • Aplicando \int a\,db = a b - \int b\,da: K = t\sin(t) - \int \sin(t)\,dt.
  • Integrando \sin(t): \int \sin(t)\,dt = -\cos(t).
  • Portanto K = t\sin(t) - \big(-\cos(t)\big) = t\sin(t) + \cos(t) + C.

Passo 7

Voltar para J e então para I; simplificar e obter a resposta final:
  • Encontramos J = K = t\sin(t) + \cos(t) + C.
  • Reescrevendo em função de x (lembrando t=e^{x}):
    J = e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) + \cos\!\big(e^{x}\big) + C.
  • Lembrando que I = e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) - J, obtemos
    I = e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) - \big(e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) + \cos\!\big(e^{x}\big)\big) + C.
  • Simplificando os termos e^{x}\,\operatorname{sen}\!\big(e^{x}\big) que se cancelam:
    I = -\cos\!\big(e^{x}\big) + C.
  • Comentário amigável: deu certo! Usamos integração por partes (duas vezes, uma direta e outra após substituição) e chegamos a uma resposta simples. Observação prática: se fizesse primeiro a substituição t=e^{x} diretamente na integral original, obteria \int \sin t\,dt e chegaria mais rapidamente ao mesmo resultado.

Resposta

-\cos\!\big(e^{x}\big)+C

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