Calcule as integrais por integração por partes:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível:
- Pede calcular a integral
. - Informação dada: a função integranda é
multiplicada por . - O enunciado solicitou o uso da integração por partes. Vou usar esse método (mesmo havendo uma substituição direta mais simples), explicando cada passo com calma.
Passo 2
Fórmula de integração por partes (a “fórmula mágica”) e o que cada símbolo significa:
- A fórmula é
. - Aqui:
-
é uma função escolhida que vamos derivar para obter . -
é a parte que vamos integrar para obter . -
é a diferencial de (a derivada de vezes ). -
é uma primitiva (uma antiderivada) de .
-
A ideia: escolhemos
e
para transformar uma integral difícil numa que dê para resolver (às vezes precisamos aplicar o método mais de uma vez).
Passo 3
Escolha de
e
para este problema e cálculo de
e
:
-
Vou definirJustificação rápida da escolha:
é fácil de integrar (porque a primitiva de é ). A outra parte, embora pareça complicada, ao derivar gera um fator que nos permite fazer uma substituição depois. -
Calcular
: integrar -
Calcular
: derivar usando a regra da cadeia. - Derivada de
em relação a é . - Aqui
, cuja derivada é . - Então
- Derivada de
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
- Seja
. - Pela fórmula
, substituindo nossas escolhas: - Simplificando dentro da integral:
- Para organizar, chamo a integral restante de
de modo que .
Passo 5
Simplificar
por substituição (explicando passo a passo a substituição):
- Faço a substituição natural
. Então: - Expressar
em termos de : . - Assim,
- Observação: ao substituir a integral ficou em termos de
e agora é , que é uma integral padrão e resolve-se bem por integração por partes.
Passo 6
Calcular
por integração por partes (detalhando a escolha):
- Seja
. - Escolho:
(aqui usei letras diferentes só para variar a notação; corresponde a e da fórmula). - Então
e . - Aplicando
: - Integrando
: - Portanto
Passo 7
Voltar para
e então para
; simplificar e obter a resposta final:
-
Encontramos
. -
Reescrevendo em função de
(lembrando ): -
Lembrando que
, obtemos -
Simplificando os termos
que se cancelam: -
Comentário amigável: deu certo! Usamos integração por partes (duas vezes, uma direta e outra após substituição) e chegamos a uma resposta simples. Observação prática: se fizesse primeiro a substituição
diretamente na integral original, obteria e chegaria mais rapidamente ao mesmo resultado.