Calcule as integrais: integral 1raizx^2-25 d x;

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição trigonométrica para resolver expressões com raízes quadradas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a expressão sugere o uso da substituição trigonométrica com a função secante. Aqui, porque . Então, fazemos a substituição .

Passo 3

Calculando a derivada de dx = 5 sec theta tan theta , dtheta em relação a , temos:
Vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1raiz(5 sec theta)^2 - 25 cdot 5 sec theta tan theta , dtheta = integral 1raiz25 sec^2 theta - 25 cdot 5 sec theta tan theta , dtheta

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
25 sec^2 theta - 25 = 25 (sec^2 theta - 1) = 25 tan^2 theta
Portanto, .

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 15 tan theta cdot 5 sec theta tan theta , dtheta = integral sec theta , dtheta

Passo 7

Sabemos que a integral de integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C é:

Passo 8

Agora, voltamos à substituição original. Como sec theta = x5 e tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz(x5)^2 - 1 = raizx^2 - 255 , temos:

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão da integral:
ln | x5 + raizx^2 - 255 | + C = ln | x + raizx^2 - 255 | + C
Podemos simplificar a constante:
ln |x + raizx^2 - 25| + C'

Resposta

integral 1raizx^2-25 , dx = ln | x + raizx^2 - 25 | + C

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