Calcule as integrais: integral x^4+2 x+1x^3-x^2-x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem frações racionais. Para resolver, vamos precisar fazer divisão polinomial e utilizar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os graus do polinômio no numerador e no denominador. O numerador é (grau 4) e o denominador é (grau 3). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial.

Passo 3

Vamos dividir (x^4 + 2x + 1) - (x^4 - x^3 - x^2) &= x^3 + x^2 + 2x + 1 por 1 times (x^3 - x^2 - x) = x^3 - x^2 - x .
  1. Divisão do primeiro termo: (x^3 + x^2 + 2x + 1) - (x^3 - x^2 - x) = 2x^2 + 3x + 1 .
  2. Multiplicar o divisor pelo quociente: x^4 + 2x + 1x^3 - x^2 - x = x + 1 + 2x^2 + 3x + 1x^3 - x^2 - x .
  3. Subtrair do dividendo:
  4. Repetir o processo: .
  5. Multiplicar e subtrair novamente:
Então, a divisão nos dá:

Passo 4

Agora, simplificamos a fração restante x^3 - x^2 - x = x(x^2 - x - 1) . Primeiro, vamos fatorar o denominador:
2x^2 + 3x + 1x(x^2 - x - 1)
Então, a fração fica:

Passo 5

Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. Vamos escrever:
2x^2 + 3x + 1x(x^2 - x - 1) = Ax + Bx + Cx^2 - x - 1
Agora, vamos encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 2x^2 + 3x + 1 = A(x^2 - x - 1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
2x^2 + 3x + 1 = A x^2 - A x - A + B x^2 + C x
Expandindo:
2x^2 + 3x + 1 = (A + B)x^2 + (-A + C)x - A
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para -A = 1 Rightarrow A = -1 : -1 + B = 2 Rightarrow B = 3
  2. Para -(-1) + C = 3 Rightarrow 1 + C = 3 Rightarrow C = 2 :
  3. Constante:
Resolvendo a partir da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:

Passo 8

Agora que temos 2x^2 + 3x + 1x(x^2 - x - 1) = -1x + 3x + 2x^2 - x - 1 , e , nossa fração parcial fica:

Passo 9

Voltando à integral original, temos:
integral x^4+2x+1x^3-x^2-x dx = integral ( x + 1 + -1x + 3x + 2x^2 - x - 1 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando termo a termo:
  1. 3x + 2x^2 - x - 1 = (3x + 2)u
  2. 3x + 2u = 32 cdot 2x - 1u + 72 cdot 1u
  3. integral 3x + 2x^2 - x - 1 dx = 32 ln|u| + 72 integral 1u du = 32 ln|x^2 - x - 1| + 72 ln|x^2 - x - 1| + C
  4. Para 102 ln|x^2 - x - 1| = 5 ln|x^2 - x - 1| , fazemos uma substituição:
    Seja , então .
    Contudo, ajustando os termos:
    Podemos reescrever como :
    Então:
    Simplificando:

Passo 11

Juntando tudo, a integral fica:
12x^2 + x - ln|x| + 5 ln|x^2 - x - 1| + C

Resposta

A integral 12x^2 + x - ln|x| + 5, ln|x^2 - x - 1| + C é igual a:

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