Calcule as integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem frações racionais. Para resolver, vamos precisar fazer divisão polinomial e utilizar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os graus do polinômio no numerador e no denominador. O numerador é
(grau 4) e o denominador é
(grau 3). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
- Divisão do primeiro termo:
. - Multiplicar o divisor pelo quociente:
. - Subtrair do dividendo:
- Repetir o processo:
. - Multiplicar e subtrair novamente:
Então, a divisão nos dá:
Passo 4
Agora, simplificamos a fração restante
. Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 5
Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. Vamos escrever:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
: - Para
: - Constante:
Resolvendo a partir da terceira equação:
Substituindo
na primeira equação:
E na segunda equação:
Passo 8
Agora que temos
,
e
, nossa fração parcial fica:
Passo 9
Voltando à integral original, temos:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 10
Integrando termo a termo:
-
-
-
-
Para
, fazemos uma substituição: Seja, então . Contudo, ajustando os termos:Podemos reescrevercomo : Então:Simplificando:
Passo 11
Juntando tudo, a integral fica:
Resposta
A integral
é igual a: