Considere a função
dada por
. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(e) A função
é sobrejetora.
(e) A função
Passo 1
Estamos analisando a função
definida por
. O objetivo é determinar se a função
é sobrejetora. Isso significa verificar se, para todo valor real
, existe algum
real que satisfaz
. Para resolver isso, vamos estudar o comportamento da função e descobrir quais valores de
são possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todos os valores no conjunto de chegada (neste caso, todos os números reais
) são atingidos pela função. Ou seja, para cada
em
, deve existir pelo menos um
em
tal que
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. As funções de valor absoluto
e
sempre retornam valores não negativos. Portanto, a soma dessas duas funções também será sempre não negativa, ou seja,
para todo
.
Passo 4
Para entender melhor, vamos dividir a análise em três partes com base nos intervalos de
:
-
Quando
: Aqui,é uma função linear decrescente. -
Quando
: Neste intervalo,é constante e igual a 2. -
Quando
: Aqui,é uma função linear crescente.
Passo 5
Agora, vamos identificar os valores de
que a função
pode assumir em cada intervalo:
-
Para
: À medida que diminui (ficando mais negativo), aumenta sem limites, ou seja, tende ao . -
Para
: é sempre 2. -
Para
: À medida que aumenta, também aumenta sem limites, tendendo ao .
Passo 6
Com base nessa análise, observamos que:
- O valor mínimo que
pode assumir é 2. - Todos os valores
maiores ou iguais a 2 são atingidos pela função . - Valores de
menores que 2 não são atingidos por nenhum real.
Resposta
Falso. A função
não é sobrejetora, pois não atinge valores menores que 2.