Considere a função f: R -> R dada por f(x) = |x - 2| + |x|. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(e) A função f é sobrejetora.

Passo 1

Estamos analisando a função definida por . O objetivo é determinar se a função é sobrejetora. Isso significa verificar se, para todo valor real , existe algum real que satisfaz . Para resolver isso, vamos estudar o comportamento da função e descobrir quais valores de são possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todos os valores no conjunto de chegada (neste caso, todos os números reais ) são atingidos pela função. Ou seja, para cada em , deve existir pelo menos um em tal que .

Passo 3

Vamos analisar a função . As funções de valor absoluto e sempre retornam valores não negativos. Portanto, a soma dessas duas funções também será sempre não negativa, ou seja, para todo .

Passo 4

Para entender melhor, vamos dividir a análise em três partes com base nos intervalos de :
  1. Quando :
    Aqui, é uma função linear decrescente.
  2. Quando :
    Neste intervalo, é constante e igual a 2.
  3. Quando :
    Aqui, é uma função linear crescente.

Passo 5

Agora, vamos identificar os valores de que a função pode assumir em cada intervalo:
  1. Para : À medida que diminui (ficando mais negativo), aumenta sem limites, ou seja, tende ao .
  2. Para : é sempre 2.
  3. Para : À medida que aumenta, também aumenta sem limites, tendendo ao .

Passo 6

Com base nessa análise, observamos que:
  • O valor mínimo que pode assumir é 2.
  • Todos os valores maiores ou iguais a 2 são atingidos pela função .
  • Valores de menores que 2 não são atingidos por nenhum real.

Resposta

Falso. A função não é sobrejetora, pois não atinge valores menores que 2.

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