Calcule as integrais: integral 1(6-x^2)^3 / 2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de 1(6-x^2)^3 / 2 em relação a x. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: 6 - x^2. Isso se assemelha à forma a^2 - x^2, onde a = raiz6. Nesse caso, uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica x = a sintheta, que é útil para integrar funções que têm a forma de a^2 - x^2 sob uma raiz.

Passo 3

Fazendo a substituição x = raiz6 sintheta, precisamos também substituir dx. Derivando x em relação a theta, temos:
dx = raiz6 costheta , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1(6 - (raiz6 sintheta)^2)^3/2 cdot raiz6 costheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
6 - 6 sin^2theta = 6(1 - sin^2theta) = 6cos^2theta
Então, a integral fica:
integral 1(6cos^2theta)^3/2 cdot raiz6 costheta , dtheta

Passo 5

Simplificando os termos:
(6cos^2theta)^3/2 = 6^3/2 cos^3theta = 6raiz6 cos^3theta
Substituindo de volta na integral:
integral raiz6 costheta6raiz6 cos^3theta , dtheta = integral 16 cos^2theta , dtheta
Isso simplifica para:
16 integral sec^2theta , dtheta

Passo 6

A integral de sec^2theta é uma das integrais básicas que conhecemos:
integral sec^2theta , dtheta = tantheta + C
Então, substituindo de volta:
16 tantheta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembramos que fizemos a substituição x = raiz6 sintheta, então:
sintheta = xraiz6 theta = arcsin(xraiz6)
E,
tantheta = sinthetacostheta = xraiz6raiz1 - (xraiz6)^2 = xraiz6 - x^2
Portanto, substituindo de volta:
16 cdot xraiz6 - x^2 + C

Resposta

A integral de 1(6 - x^2)^3 / 2 em relação a x é:
x6raiz6 - x^2 + C

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