Calcule as integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz:
. Isso se assemelha à forma
, onde
. Nesse caso, uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica
, que é útil para integrar funções que têm a forma de
sob uma raiz.
Passo 3
Fazendo a substituição
, precisamos também substituir
. Derivando
em relação a
, temos:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Simplificando os termos:
Substituindo de volta na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
A integral de
é uma das integrais básicas que conhecemos:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembramos que fizemos a substituição
, então:
E,
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
A integral de
em relação a
é: