Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x e^x+y no ponto (1,1, f(1,1)).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis, ou seja, a superfície
z = f(x,y) = x e^,x+y
no ponto (1,1,f(1,1)).
Para isso vamos usar a fórmula do plano tangente: se (x0,y0) é o ponto e nabla f(x0,y0) = (fx(x0,y0),fy(x0,y0)), então
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Calcular o valor de f em (1,1):
f(1,1) = 1 cdot e^,1+1 = e^2

Passo 3

Determinar as derivadas parciais de f:
– Pela regra do produto e da cadeia,
fx(x,y) = partialpartial xl(x e^,x+yr) = e^,x+y + x,e^,x+y = (1+x),e^,x+y
– Já
fy(x,y) = partialpartial yl(x e^,x+yr) = x,e^,x+y

Passo 4

Avaliar as parciais em (1,1):
fx(1,1) = (1+1),e^2 = 2e^2, fy(1,1) = 1cdot e^2 = e^2

Passo 5

Montar o plano tangente usando a fórmula:
z - f(1,1) = fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1)
z - e^2 = 2e^2,(x-1) + e^2,(y-1)

Resposta

z - e^2 = 2e^2,(x-1) + e^2,(y-1)

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