Diga qual o domínio das funções:
g(y)=e^((y-2)(y-4))^14

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função g(y) = e^((y-2)(y-4))^14 . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de y essa função está bem definida, ou seja, existe e dá um número real. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que está no expoente: ((y-2)(y-4))^14 . A expressão (y-2)(y-4) é um produto de dois fatores lineares.

Passo 3

Sabemos que a raiz de índice par (como a 4ª raiz, que é equivalente a elevar a expressão a 14 ) só está definida para números não negativos. Ou seja, (y-2)(y-4) precisa ser maior ou igual a zero:
(y - 2)(y - 4) >= 0

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade (y - 2)(y - 4) >= 0 . Para isso, identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal, que são y = 2 e y = 4 . Vamos dividir a reta dos números em intervalos usando esses pontos:
  1. y < 2
  2. 2 <= y <= 4
  3. y > 4

Passo 5

Agora, vamos testar cada intervalo:
  1. Para y < 2 : Escolha y = 0
(0 - 2)(0 - 4) = (-2)(-4) = 8 >= 0 (Verdadeiro)
  1. Para 2 <= y <= 4 : Escolha y = 3
(3 - 2)(3 - 4) = (1)(-1) = -1 >= 0 (Falso)
  1. Para y > 4 : Escolha y = 5
(5 - 2)(5 - 4) = (3)(1) = 3 >= 0 (Verdadeiro)

Passo 6

Com isso, vemos que a desigualdade (y - 2)(y - 4) >= 0 é satisfeita quando:
  • y <= 2
  • y >= 4

Passo 7

Por fim, como a exponencial e^,algo está sempre definida para qualquer número real, não impõe restrições adicionais ao domínio. Então, o domínio da função g(y) é o conjunto de valores de y que satisfazem y <= 2 ou y >= 4 .

Resposta

O domínio da função g(y) é todo número real tal que y <= 2 ou y >= 4 . Em notação de intervalo:
(-infty, 2] cup [4, infty)

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