Calcule as integrais:
integral t e^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos identificar e na nossa integral :
  • Escolhemos porque sua derivada será mais simples.
  • Então, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando , temos .
  • Integrando , temos .

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t e^2 t , dt = u v - integral v , du = t cdot 12 e^2 t - integral 12 e^2 t , dt

Passo 6

Simplificando a expressão:
= t2 e^2 t - 12 integral e^2 t , dt
Agora, precisamos calcular a segunda integral, .

Passo 7

Integrando integral e^2 t , dt = 12 e^2 t + C :
= t2 e^2 t - 12 ( 12 e^2 t ) + C
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 8

Simplificando mais:
= t2 e^2 t - 14 e^2 t + C
Podemos fatorar = e^2 t ( t2 - 14 ) + C :

Resposta

A integral e^2 t2 ( t - 12 ) + C é igual a:

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