Calcule as integrais: integral cos (5 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral de cos(5x) cos(3x) , dx. Esse tipo de problema faz parte da matéria de cálculo integral, especialmente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que diz:
cos(A) cos(B) = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Aqui, A = 5x e B = 3x. Isso vai simplificar a expressão para algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
cos(5x) cos(3x) = 12 [cos(5x + 3x) + cos(5x - 3x)] = 12 [cos(8x) + cos(2x)]
Agora, a integral fica:
integral cos(5x) cos(3x) , dx = 12 integral [cos(8x) + cos(2x)] , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
12 integral cos(8x) , dx = 12 ( sin(8x)8 ) = sin(8x)16
12 integral cos(2x) , dx = 12 ( sin(2x)2 ) = sin(2x)4

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral cos(5x) cos(3x) , dx = sin(8x)16 + sin(2x)4 + C
Onde C é a constante de integração.

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