Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles valores de x.
sumn=1^infty (x+3)^n2^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem a série convergir e, para esses valores, calcular a soma da série. Para resolver, vamos precisar entender sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma progressão geométrica baseada em uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série dada é uma série geométrica. Olhando para , percebemos que podemos reescrever isso como . Isso mostra que a série é realmente uma série geométrica com razão .

Passo 3

Agora, para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer a condição . Isso significa que a série só vai somar de forma finita se o valor absoluto da razão for menor que 1.

Passo 4

Aplicando essa condição à nossa série, temos:
| x+32 | < 1
Isso é essencial para determinar os valores de que fazem a série convergir.

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade:
| x+32 | < 1 Rightarrow -1 < x+32 < 1
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
-2 < x + 3 < 2
Subtraindo 3 de todos os lados:
-5 < x < -1
Então, os valores de que fazem a série convergir estão entre -5 e -1.

Passo 6

Agora que sabemos para quais S = r1 - r a série converge, vamos calcular a soma dela. Para uma série geométrica que começa em S = x+321 - x+32 = x+32 - (x+3) = x+35 - x , a soma é dada por:
Substituindo :
Então, a soma da série é .

Resposta

A série converge para todo tal que e, para esses valores, a soma da série é .

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