Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa aqui. O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma potência fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar. Ou seja, a gente pode escrever:
Assim, a gente tem duas séries geométricas distintas para analisar.
Passo 3
Vamos começar com a primeira série:
. Uma série geométrica tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
No nosso caso, se a gente ajustar o índice para começar em
, fica:
Aqui,
e
. Como
, a série converge.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda série:
. De novo, ajustando o índice para começar em
:
Aqui,
e
. Novamente,
, então essa série também converge.
Passo 5
Como as duas séries que compõem a original convergem, a série completa também converge. Agora, vamos calcular as somas individuais usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Para a primeira série:
Para a segunda série:
Resposta
A série converge e a soma dela é
.