Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa aqui. O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1) converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma potência fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar. Ou seja, a gente pode escrever:
sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1) = sumn=1^infty12^n-1 + sumn=1^infty23^n-1
Assim, a gente tem duas séries geométricas distintas para analisar.

Passo 3

Vamos começar com a primeira série: sumn=1^infty12^n-1. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde sumn=0^infty12^n = sumn=0^infty(12)^n é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, se a gente ajustar o índice para começar em , fica:
Aqui, e . Como , a série converge.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda série: sumn=1^infty23^n-1. De novo, ajustando o índice para começar em sumn=0^infty23^n = sumn=0^infty2(13)^n :
Aqui, e . Novamente, , então essa série também converge.

Passo 5

Como as duas séries que compõem a original convergem, a série completa também converge. Agora, vamos calcular as somas individuais usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Para a primeira série:
S1 = 11 - 12 = 112 = 2
Para a segunda série:
S2 = 21 - 13 = 223 = 3

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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