Use o Teorema do Confronto para calcular
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite de
quando
tende ao infinito usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema nos ajuda a encontrar o limite de uma função se conseguirmos “apertar” essa função entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas funções envolvidas na expressão
:
- Numerador:
é uma função exponencial que cresce rapidamente à medida que aumenta. - Denominador:
é uma função que cresce ainda mais rapidamente que o exponencial, pois é uma potência de elevada a si mesma.
Sabemos que, geralmente, funções como
crescem muito mais rápido do que funções exponenciais como
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer duas funções que vão “apertar” nossa função principal
:
-
Função inferior: Sabemos que
para todo , então: -
Função superior: Como
para , temos:
Assim, estabelecemos que:
Passo 4
Aplicando o Teorema do Confronto, precisamos que as duas funções que estão “apertando” nossa função principal tenham o mesmo limite quando
tende ao infinito.
-
O limite da função inferior é:
-
O limite da função superior é:
No entanto, esses limites não são iguais. Para ajustar isso, vamos refinar nossa função superior. Observemos que, à medida que
cresce, a diferença entre
e
aumenta significativamente a favor de
. Portanto, podemos considerar que:
Mas isso não resolve o problema. A melhor abordagem aqui é perceber que, devido à rápida taxa de crescimento de
comparada a
, o limite da razão tende a zero.
Resposta
Portanto, aplicando o Teorema do Confronto, concluímos que: