Nos problemas 29 e 30, resolva o problema de valor inicial dado.
29.
29.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente das equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos definir
. Essa substituição ajuda a lidar com o termo
dentro do cosseno.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
A equação
é separável. Vamos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo, lembramos que
. Então:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 8
Então, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: