Nos problemas 29 e 30, resolva o problema de valor inicial dado.
29. dy/dx = cos(x + y), y(0) = pi/4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente das equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos definir . Essa substituição ajuda a lidar com o termo dentro do cosseno.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

A equação é separável. Vamos rearranjar para separar as variáveis e :

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, lembramos que . Então:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 8

Então, a solução geral da equação é:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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