Calcule as integrais integral d xx^5 raiz4 x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema envolve integração de funções racionais com radicais, e vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que pode ser reescrito como . Isso se parece com a forma , que é uma identidade trigonométrica útil para substituições.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz. Seja:
2x = sec theta
Então, .

Passo 4

Vamos derivar dx = sec theta tan theta2 dtheta em relação a para encontrar :

Passo 5

Agora, substituímos integral dxx^5 raiz4 x^2-1 = integral sec theta tan theta2 dtheta(sec theta2)^5 raiz4 (sec theta2)^2 -1 e na integral original:

Passo 6

Simplificamos o denominador da raiz:
raiz4 (sec theta2)^2 -1 = raizsec^2 theta -1 = tan theta
Substituindo de volta:
integral sec theta tan theta2 dtheta(sec theta2)^5 tan theta = integral sec theta2 sec^5 theta32 dtheta = integral 32 sec theta2 sec^5 theta dtheta = integral 16 sec^-4 theta dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar cos^4 theta = 3 + 4 cos 2theta + cos 4theta8 . Para isso, usamos a identidade de potência para 16 integral cos^4 theta dtheta = 16 integral 3 + 4 cos 2theta + cos 4theta8 dtheta = 2 integral (3 + 4 cos 2theta + cos 4theta) dtheta :
Portanto:

Passo 8

Integrando termo a termo:
2 ( 3theta + 2 sin 2theta + 14 sin 4theta ) + C = 6theta + 4 sin 2theta + 12 sin 4theta + C

Passo 9

Agora, voltamos para a variável original . Lembrando que , então . Além disso, e . Mas para simplificar, deixamos a resposta em termos de .

Resposta

A integral 6,theta + 4,sin 2theta + 12,sin 4theta + C é igual a:
onde e é a constante de integração.

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