Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema envolve integração de funções racionais com radicais, e vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que
pode ser reescrito como
. Isso se parece com a forma
, que é uma identidade trigonométrica útil para substituições.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz. Seja:
Então,
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Simplificamos o denominador da raiz:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos integrar
. Para isso, usamos a identidade de potência para
:
Portanto:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, então
. Além disso,
e
. Mas para simplificar, deixamos a resposta em termos de
.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
e
é a constante de integração.