Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 3n 2^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A gente precisa verificar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que são técnicas que ajudam a gente a determinar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Podemos reescrever a série como . O fator 3 é constante e não afeta a convergência, então vamos focar na série .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for menor que 1, a série converge.
Vamos calcular:
limn to infty an+1an = limn to infty 1(n+1) 2^n+11n 2^n = limn to infty nn+1 cdot 12 = 12
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Passo 4

Finalmente, lembrando que nossa série original tinha um fator 3, a convergência deles está diretamente ligada. Multiplicar por 3 não altera a convergência, então:
sumn=1^infty 3n 2^n = 3 sumn=1^infty 1n 2^n também conver>= é

Resposta

A série converge.

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