Determine se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A gente precisa verificar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que são técnicas que ajudam a gente a determinar o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Podemos reescrever a série como
. O fator 3 é constante e não afeta a convergência, então vamos focar na série
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for menor que 1, a série converge.
Vamos calcular:
Como
, pelo Teste da Razão, a série
converge.
Passo 4
Finalmente, lembrando que nossa série original tinha um fator 3, a convergência deles está diretamente ligada. Multiplicar por 3 não altera a convergência, então:
Resposta
A série
converge.