a) Prove que a área da elipse x^2/A^2 + y^2/B^2 = 1 é pi A B

Passo 1

Então, a gente tem essa equação de uma elipse: x^2/A^2 + y^2/B^2 = 1. O que a gente precisa fazer aqui é provar que a área dessa elipse é igual a pi A B. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma elipse é dada por x^2/A^2 + y^2/B^2 = 1, onde A é o semi-eixo maior e B é o semi-eixo menor. A área de uma elipse está relacionada a essas medidas dos eixos.

Passo 3

Para encontrar a área, podemos usar integração. A ideia é calcular a área sob a curva da elipse no primeiro quadrante e depois multiplicar por 4 para obter a área total.

Passo 4

Vamos isolar y na equação da elipse: , então . Essa é a função que vamos integrar.

Passo 5

A integral para a área no primeiro quadrante fica: . Para facilitar, vamos fazer uma substituição de variável. Seja , então e .

Passo 6

Substituindo na integral, temos: . Sabemos que de 0 a 1 é igual a pi/4.

Passo 7

Portanto, a integral se torna: . Mas como calculamos apenas a área do primeiro quadrante, multiplicamos por 4 para obter a área total da elipse: .

Resposta

A área da elipse é pi A B.

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