a) Prove que a área da elipse
é
Passo 1
Então, a gente tem essa equação de uma elipse:
. O que a gente precisa fazer aqui é provar que a área dessa elipse é igual a
. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma elipse é dada por
, onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. A área de uma elipse está relacionada a essas medidas dos eixos.
Passo 3
Para encontrar a área, podemos usar integração. A ideia é calcular a área sob a curva da elipse no primeiro quadrante e depois multiplicar por 4 para obter a área total.
Passo 4
Vamos isolar
na equação da elipse:
, então
. Essa é a função que vamos integrar.
Passo 5
A integral para a área no primeiro quadrante fica:
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição de variável. Seja
, então
e
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
. Sabemos que
de 0 a 1 é igual a
.
Passo 7
Portanto, a integral se torna:
. Mas como calculamos apenas a área do primeiro quadrante, multiplicamos por 4 para obter a área total da elipse:
.
Resposta
A área da elipse é
.