Calcule as integrais:
integralegral duplaD 2 x ln (x y) d A, D=(x, y) ; 1 <= x <= 2, 2 <= y <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD 2x ln(xy),dA,
no retângulo D=(x,y):1<= x<=2,;2<= y<=4. O conteúdo envolve integrais duplas em domínios retangulares e vamos precisar usar a propriedade do logaritmo ln(xy)=ln x+ln y, a linearidade da integral e integração por partes.

Passo 2

Como D é retângulo, podemos escrever
integral duplaD 2xln(xy),dA = integral duplaD 2x(ln x + ln y),dA = I1 + I2,
onde
I1 = integral duplaD 2xln x,dA, I2 = integral duplaD 2xln y,dA
Isso usa a linearidade da integral dupla.

Passo 3

Para I1, como ln x independe de y, temos
I1 = integralx=1^2integraly=2^4 2xln x,dy,dx = integral1^2 2xln x,(4-2),dx = 4integral1^2 xln x,dx
Aplicando integração por partes com u=ln x e dv=x,dx,
integral xln x,dx = x^22ln x - x^24 + C
Logo
I1 = 4l[x^22ln x - x^24r]1^2 = 8ln2 - 3

Passo 4

Para I2, separamos as integrais em x e y:
I2 = integralx=1^2integraly=2^4 2xln y,dy,dx = l(integral1^2 2x,dxr)l(integral2^4 ln y,dyr)
Calculamos
integral1^2 2x,dx = [x^2]1^2 = 4-1 = 3,
integral2^4 ln y,dy = [yln y - y]2^4 = (4ln4 - 4) - (2ln2 - 2) = 6ln2 - 2
Logo
I2 = 3,(6ln2 - 2) = 18ln2 - 6

Passo 5

Somando os dois termos,
integral duplaD 2xln(xy),dA = I1 + I2 = (8ln2 - 3) + (18ln2 - 6) = 26ln2 - 9

Resposta

26\ln2 - 9

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