Calcule as integrais:
Passo 1
A integral dada é ∬_D x y sen(x²+y²) dA com D sendo o quadrado 0≤x≤√π, 0≤y≤√π. Vamos usar integração iterada e substituição para resolver.
Passo 2
Escrevemos a integral iterada:
Passo 3
Para a integral interna em x, tomamos y constante e fazemos a substituição t=x²+y², logo dt=2x dx, ou seja x dx=dt/2. Os limites em x de 0 a √π viram em t de y² a π+y². Assim
Passo 4
Usamos
, então
Passo 5
Fica portanto
Passo 6
Para esta, fazemos u=y², du=2y dy ⇒ y dy=du/2, limites de y de 0 a √π dão u de 0 a π. Logo
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