Calcule as integrais:
integralegral duplaD x y sen(x^2+y^2) d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= raizpi, 0 <= y <= raizpi

Passo 1

A integral dada é ∬_D x y sen(x²+y²) dA com D sendo o quadrado 0≤x≤√π, 0≤y≤√π. Vamos usar integração iterada e substituição para resolver.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada: integraly=0^raizpiintegralx=0^raizpi x y sin(x^2+y^2),dx,dy

Passo 3

Para a integral interna em x, tomamos y constante e fazemos a substituição t=x²+y², logo dt=2x dx, ou seja x dx=dt/2. Os limites em x de 0 a √π viram em t de y² a π+y². Assim
integral0^raizpi x y sin(x^2+y^2),dx = ycdot12integralt=y^2^t=pi+y^2sin t,dt = y2[ -cos t ]y^2^pi+y^2

Passo 4

Usamos cos(pi+y^2)=-cos(y^2), então
y2l(-cos(pi+y^2)+cos(y^2)r)= y2(cos(y^2)+cos(y^2))=ycos(y^2)

Passo 5

Fica portanto
integral0^raizpiycos(y^2),dy

Passo 6

Para esta, fazemos u=y², du=2y dy ⇒ y dy=du/2, limites de y de 0 a √π dão u de 0 a π. Logo
integral0^raizpiycos(y^2),dy=12integral0^picos u,du=12[sin u]0^pi=0

Resposta

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