Calcule as integrais
integral raiz1+x^2 x^5 d x

Passo 1

A gente quer resolver a integral integral x^5raiz1+x^2,dx. O conteúdo aqui é o método de substituição para integrais, junto com a regra do poder para polinômios. Vamos usar a substituição para simplificar a raiz raiz1+x^2 e depois aplicar a integração termo a termo.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 + x^2. Assim, derivando ambos os lados, obtemos du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12,du.
Precisamos converter x^5,dx em função de u. Note que x^5 = x^4cdot x e x^4 = (x^2)^2 = (u-1)^2. Logo,
x^5,dx = (u-1)^2 cdot x,dx = (u-1)^2 cdot 12,du
Substituindo na integral original: integral x^5raiz1+x^2,dx = integral (u-1)^2 cdot raizu cdot 12,du = 12integral (u-1)^2,u^1/2,du Expandindo (u-1)^2 = u^2 -2u+1 e multiplicando por u^1/2:
12integral (u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2),du Agora aplicamos a regra do poder integral u^n,du = u^n+1/(n+1).

Passo 3

Integrando termo a termo:
integral u^5/2,du = 27u^7/2, integral u^3/2,du = 25u^5/2, integral u^1/2,du = 23u^3/2 Multiplicando tudo por tfrac12 resulta em
12l(tfrac27u^7/2 - 2cdottfrac25u^5/2 + tfrac23u^3/2r) = 17u^7/2 - 25u^5/2 + 13u^3/2 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x usando u = 1 + x^2.

Resposta

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