Determine em que pontos as funções são contínuas:
f(x, y)=yx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de continuidade da função de duas variáveis f(x,y)=dfracyx^2+1. O conteúdo envolvido é continuidade de funções multivariadas e o uso do teorema que garante continuidade de soma, produto e quociente (desde que o denominador não seja zero).

Passo 2

Observamos que a função pode ser vista como o quociente de duas funções mais simples: definimos g(x,y)=y e h(x,y)=x^2+1. Pela teoria de continuidade em R^2, funções polinomiais e funções projetoras (como g) são contínuas em todo o domínio.

Passo 3

Verificamos o denominador: h(x,y)=x^2+1. Note que para todo (x,y)inR^2 temos x^2+1>=1>0, isto é, h nunca se anula.

Passo 4

Como g e h são contínuas em R^2 e h(x,y)neq0 em todo ponto, o teorema do quociente nos garante que f(x,y)=g(x,y)/h(x,y) é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f(x,y)=dfracyx^2+1 é contínua em todos os pontos (x,y)inR^2.

Exercícios relacionados