Calcule as integrais: integral sec ^7 x t g^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve integrais de funções trigonométricas, especificamente potências de secante e tangente. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que tanto a secante quanto a tangente estão elevadas a potências ímpares (7 e 5, respectivamente). Quando isso acontece, é útil separar uma potência de secante e uma de tangente para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral assim:
integral sec^7 x tan^5 x , dx = integral sec^6 x tan^4 x cdot sec x tan x , dx

Passo 3

Agora, vamos lembrar que sabemos que sec^6 x = (sec^2 x)^3 e tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x - 1)^2 . Isso significa que podemos expressar integral (sec^2 x)^3 (sec^2 x - 1)^2 cdot sec x tan x , dx e em termos de :
Substituindo de volta na integral:

Passo 4

Agora, vamos fazer a substituição. Seja dudx = sec x tan x Rightarrow du = sec x tan x , dx . Então, a derivada de em relação a é:
Observamos que está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 5

Substituindo integral u^6 (u^2 - 1)^2 , du e (u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1 , a integral fica:
integral u^6(u^4 - 2u^2 + 1) , du = integral (u^10 - 2u^8 + u^6) , du
Vamos expandir :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^10 , du = u^1111
integral -2u^8 , du = -2 cdot u^99 = -2u^99
integral u^6 , du = u^77
Então, combinando tudo:
u^1111 - 2u^99 + u^77 + C

Passo 7

Por fim, substituímos (sec x)^1111 - 2(sec x)^99 + (sec x)^77 + C de volta na expressão:

Resposta

integral sec^7 x tan^5 x , dx = sec^11 x11 - 2 sec^9 x9 + sec^7 x7 + C

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