Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão envolve integrais de funções trigonométricas, especificamente potências de secante e tangente. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que tanto a secante quanto a tangente estão elevadas a potências ímpares (7 e 5, respectivamente). Quando isso acontece, é útil separar uma potência de secante e uma de tangente para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que sabemos que
. Isso significa que podemos expressar
e
em termos de
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 4
Agora, vamos fazer a substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Observamos que
está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.
Passo 5
Substituindo
e
, a integral fica:
Vamos expandir
:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, combinando tudo:
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta na expressão: