Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado. f(x, y) = y/x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Estamos analisando a função . A gente vai precisar entender conceitos como domínio, imagem, curvas de nível, fronteira do domínio, e se o domínio é aberto, fechado ou limitado. Vamos resolver tudo isso passo a passo!

Passo 2

(a) Encontrar o domínio da função

O que é o domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos uma divisão por . Sabemos que não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que o denominador nunca seja zero.
Como resolver?
Para , o denominador não pode ser zero. Então:
Domínio:
Todos os pares onde . Em termos matemáticos:

Passo 3

(b) Encontrar a imagem da função

O que é a imagem?
A imagem de uma função são todos os valores que a função pode assumir. Ou seja, todos os possíveis .
Como resolver?
Para , dado que , não há restrições para . pode ser qualquer número real e sempre será positivo (já que é quadrado). Logo, a fração pode assumir qualquer valor real.
Imagem:
Todos os números reais.

Passo 4

© Descrever as curvas de nível da função

O que são curvas de nível?
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Formalmente, para um valor , a curva de nível é:
Como resolver?
Vamos rearranjar a equação para entender a forma das curvas:
Isso representa uma parábola para cada valor de .
Descrição das curvas de nível:
Para cada constante , a curva de nível é uma parábola com a equação . Dependendo de :
  • Se , a parábola abre para cima.
  • Se , a parábola abre para baixo.
  • Se , a curva de nível é a linha .

Passo 5

(d) Encontrar a fronteira do domínio da função

O que é a fronteira?
A fronteira de um conjunto é o limite que separa esse conjunto do seu complemento. No caso do domínio, queremos saber quais pontos estão “na borda” onde a função deixa de estar definida.
Como resolver?
Nosso domínio é . A fronteira ocorre onde se aproxima de 0.
Fronteira:
A linha . Mesmo que não esteja no domínio, ela é o limite onde a função deixa de estar definida.

Passo 6

(e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas

Conceitos:
  • Região aberta: Não inclui sua fronteira.
  • Região fechada: Inclui sua fronteira.
  • Nenhuma das duas: Se não se encaixar nos anteriores.
Como resolver?
Nosso domínio é , que exclui a linha . Como a fronteira não está incluída, é uma região aberta.
Resposta:
O domínio é uma região aberta.

Passo 7

(f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado

O que é uma região limitada?
Uma região é limitada se ela está contida dentro de algum círculo de raio finito.
Como resolver?
Nosso domínio é todo o plano menos a linha . Ele se estende infinitamente em todas as direções (para e ).
Resposta:
O domínio é não limitado.

Resposta

A função tem domínio formado por todos os pontos onde . Sua imagem abrange todos os números reais. As curvas de nível são parábolas da forma para cada constante . A fronteira do domínio é a linha . O domínio é uma região aberta e não limitada.

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