Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Estamos analisando a função
. A gente vai precisar entender conceitos como domínio, imagem, curvas de nível, fronteira do domínio, e se o domínio é aberto, fechado ou limitado. Vamos resolver tudo isso passo a passo!
Passo 2
(a) Encontrar o domínio da função
O que é o domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos uma divisão por
. Sabemos que não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que o denominador nunca seja zero.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
Como resolver?
Para , o denominador
não pode ser zero. Então:
Para
Domínio:
Todos os pares onde
. Em termos matemáticos:
Todos os pares
Passo 3
(b) Encontrar a imagem da função
O que é a imagem?
A imagem de uma função são todos os valores que a função pode assumir. Ou seja, todos os possíveis .
A imagem de uma função são todos os valores que a função pode assumir. Ou seja, todos os possíveis
Como resolver?
Para , dado que
, não há restrições para
.
pode ser qualquer número real e
sempre será positivo (já que é quadrado). Logo, a fração pode assumir qualquer valor real.
Para
Imagem:
Todos os números reais.
Todos os números reais.
Passo 4
© Descrever as curvas de nível da função
O que são curvas de nível?
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Formalmente, para um valor
, a curva de nível é:
Curvas de nível são conjuntos de pontos
Como resolver?
Vamos rearranjar a equação para entender a forma das curvas:
Vamos rearranjar a equação para entender a forma das curvas:
Isso representa uma parábola para cada valor de
.
Descrição das curvas de nível:
Para cada constante , a curva de nível é uma parábola com a equação
. Dependendo de
:
Para cada constante
- Se
, a parábola abre para cima. - Se
, a parábola abre para baixo. - Se
, a curva de nível é a linha .
Passo 5
(d) Encontrar a fronteira do domínio da função
O que é a fronteira?
A fronteira de um conjunto é o limite que separa esse conjunto do seu complemento. No caso do domínio, queremos saber quais pontos estão “na borda” onde a função deixa de estar definida.
A fronteira de um conjunto é o limite que separa esse conjunto do seu complemento. No caso do domínio, queremos saber quais pontos estão “na borda” onde a função deixa de estar definida.
Como resolver?
Nosso domínio é . A fronteira ocorre onde
se aproxima de 0.
Nosso domínio é
Fronteira:
A linha . Mesmo que
não esteja no domínio, ela é o limite onde a função deixa de estar definida.
A linha
Passo 6
(e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
Conceitos:
- Região aberta: Não inclui sua fronteira.
- Região fechada: Inclui sua fronteira.
- Nenhuma das duas: Se não se encaixar nos anteriores.
Como resolver?
Nosso domínio é , que exclui a linha
. Como a fronteira não está incluída, é uma região aberta.
Nosso domínio é
Resposta:
O domínio é uma região aberta.
O domínio é uma região aberta.
Passo 7
(f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
O que é uma região limitada?
Uma região é limitada se ela está contida dentro de algum círculo de raio finito.
Uma região é limitada se ela está contida dentro de algum círculo de raio finito.
Como resolver?
Nosso domínio é todo o plano menos a linha . Ele se estende infinitamente em todas as direções (para
e
).
Nosso domínio é todo o plano menos a linha
Resposta:
O domínio é não limitado.
O domínio é não limitado.
Resposta
A função
tem domínio formado por todos os pontos
onde
. Sua imagem abrange todos os números reais. As curvas de nível são parábolas da forma
para cada constante
. A fronteira do domínio é a linha
. O domínio é uma região aberta e não limitada.