Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. A gente vai precisar entender conceitos de domínio, imagem, curvas de nível, fronteira do domínio, e também saber se o domínio é aberto, fechado ou se é limitado. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pontos
onde a função está definida. A função exponencial
está definida para todos os números reais
e
, porque a exponencial aceita qualquer número real como entrada. Então, o domínio é todo o plano
.
Passo 3
Agora, encontrar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que a função exponencial
com
sempre gera valores positivos, já que
é sempre maior ou igual a zero. Quando
, temos
, e conforme
cresce,
se aproxima de 0. Portanto, a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Então, temos:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Como
,
é sempre positivo. Isso significa que as curvas de nível são círculos de raio
centrados na origem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a fronteira do domínio da função. Como o domínio é todo o plano
, que não tem limites, a fronteira não existe dentro do contexto usual. Ou seja, não há uma “borda” para o domínio.
Passo 6
Vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas. Uma região aberta não inclui sua fronteira, e uma fechada inclui. Como o domínio é todo o plano sem fronteira, ele pode ser considerado tanto aberto quanto fechado em termos topológicos. No entanto, no contexto usual, dizemos que é uma região aberta.
Passo 7
Por fim, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado. Um domínio é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como o domínio aqui é todo o plano
, ele se estende infinitamente em todas as direções. Portanto, o domínio é não limitado.
Resposta
(a) O domínio é todo o plano
.
(b) A imagem da função é o intervalo
.
© As curvas de nível são círculos de raio
centrados na origem.
(d) A fronteira do domínio não existe.
(e) O domínio é uma região aberta.
(f) O domínio é não limitado.