Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado. f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . A gente vai precisar entender conceitos de domínio, imagem, curvas de nível, fronteira do domínio, e também saber se o domínio é aberto, fechado ou se é limitado. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pontos onde a função está definida. A função exponencial está definida para todos os números reais e , porque a exponencial aceita qualquer número real como entrada. Então, o domínio é todo o plano .

Passo 3

Agora, encontrar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que a função exponencial com sempre gera valores positivos, já que é sempre maior ou igual a zero. Quando , temos , e conforme cresce, se aproxima de 0. Portanto, a imagem é o intervalo .

Passo 4

Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Então, temos:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Como , é sempre positivo. Isso significa que as curvas de nível são círculos de raio centrados na origem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a fronteira do domínio da função. Como o domínio é todo o plano , que não tem limites, a fronteira não existe dentro do contexto usual. Ou seja, não há uma “borda” para o domínio.

Passo 6

Vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas. Uma região aberta não inclui sua fronteira, e uma fechada inclui. Como o domínio é todo o plano sem fronteira, ele pode ser considerado tanto aberto quanto fechado em termos topológicos. No entanto, no contexto usual, dizemos que é uma região aberta.

Passo 7

Por fim, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado. Um domínio é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como o domínio aqui é todo o plano , ele se estende infinitamente em todas as direções. Portanto, o domínio é não limitado.

Resposta

(a) O domínio é todo o plano .
(b) A imagem da função é o intervalo .
© As curvas de nível são círculos de raio centrados na origem.
(d) A fronteira do domínio não existe.
(e) O domínio é uma região aberta.
(f) O domínio é não limitado.

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