Resolva as seguintes EDO expressadas em termos do operador derivação D :
(D+1)^3(D-2)^2 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes dada pelo operador
(D+1)^3(D-2)^2,y(t)=0,
onde D é o operador derivação em relação a t. O conteúdo principal é a técnica do polinômio característico para EDOs lineares homogêneas com raízes repetidas.

Passo 2

Substituímos Dto r para obter o polinômio característico:
(D+1)^3(D-2)^2y=0 Longrightarrow (r+1)^3(r-2)^2=0
As raízes são
r=-1com mu<iplicidade 3, r=2com mu<iplicidade 2

Passo 3

Pela teoria, cada raiz real r0 de multiplicidade m gera no geral as soluções independentes
e^r0t,;t,e^r0t,;t^2e^r0t,;dots,;t^m-1e^r0t
Logo, para r=-1 (multiplicidade 3) temos
e^-t,;t,e^-t,;t^2e^-t,
e para r=2 (multiplicidade 2) temos
e^2t,;t,e^2t

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t) = C1e^-t + C2,t,e^-t + C3,t^2e^-t + C4e^2t + C5,t,e^2t,
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

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