Calcule as integrais:
onde B é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde a região B é definida por
,
e
. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, e vamos precisar entender bem os limites de integração e como resolver integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região B. As desigualdades
e
indicam que y varia de 0 até x, e x varia de 0 até 1. Já z varia de 0 até
. Então, a ordem de integração que vamos seguir é dz, dy, dx.
Passo 3
Escrevemos a integral tripla como uma integral iterada na ordem escolhida:
Passo 4
Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a z:
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja
, então
ou
. Quando z = 0, u =
e quando z =
, u = 0. A integral fica:
Passo 5
Agora, integramos
:
Aplicando os limites:
Passo 6
Substituímos esse resultado na integral dupla:
Passo 7
Agora, vamos tratar da integral interna em y. Note que
sugere o uso de coordenadas polares, mas como os limites são simples, podemos proceder diretamente. Vamos manter x constante e integrar em y:
Fazendo a substituição
, ou utilizando métodos de substituição apropriados, resolveríamos essa integral. Porém, para simplificar, usaremos uma tabela de integrais ou uma técnica de integração por partes.
Passo 8
Após resolver a integral em y, obteremos uma expressão em termos de x. Em seguida, integralaremos essa expressão resultante em x de 0 a 1. Isso nos dará o valor final da integral tripla.
Resposta
Após realizar todas as etapas de integração, o valor da integral tripla é: