Calcule os seguintes volumes:
é o conjunto
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume do conjunto
, que é definido pelas seguintes condições:
Isso significa que estamos trabalhando dentro de um quadrado no plano
, de
a
em ambos os eixos, e para cada ponto
nesse quadrado,
varia de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume total desse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como achar o volume usando integrais duplas. O volume
pode ser calculado integrando a função que descreve a altura no eixo
sobre a área no plano
. Nesse caso, a altura varia de
até
, então a altura total em cada ponto
é:
Então, o volume será a integral dupla de
sobre o quadrado
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos escrever o volume
como:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
, mantendo
constante, e depois integramos o resultado em relação a
.
Passo 4
Vamos integrar a função
em relação a
, de
a
:
Primeiro, calculamos
, que é simplesmente
avaliado de
a
:
Então,
.
Agora, calculamos
. A integral de
é
, então:
Multiplicando por 2, temos
.
Passo 5
Agora, somamos os dois resultados obtidos na etapa anterior:
Então, a integral dupla agora se reduz a:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
, de
a
:
Primeiro, calculamos
. A integral de
é
, então:
Multiplicando por 4, temos
.
Agora, calculamos
avaliado de
a
:
Multiplicando por
, temos
.
Passo 7
Finalmente, somamos os dois resultados obtidos:
Portanto, o volume do conjunto
é
.
Resposta
O volume do conjunto
é
unidades cúbicas.