Calcule os seguintes volumes: B é o conjunto -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1 e - (x^2 + y^2) <= z <= x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume do conjunto , que é definido pelas seguintes condições:
Isso significa que estamos trabalhando dentro de um quadrado no plano , de a em ambos os eixos, e para cada ponto nesse quadrado, varia de até . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume total desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como achar o volume usando integrais duplas. O volume pode ser calculado integrando a função que descreve a altura no eixo sobre a área no plano . Nesse caso, a altura varia de até , então a altura total em cada ponto é:
Então, o volume será a integral dupla de sobre o quadrado e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos escrever o volume como:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a , mantendo constante, e depois integramos o resultado em relação a .

Passo 4

Vamos integrar a função em relação a , de a :
Primeiro, calculamos , que é simplesmente avaliado de a :
Então, .
Agora, calculamos . A integral de é , então:
Multiplicando por 2, temos .

Passo 5

Agora, somamos os dois resultados obtidos na etapa anterior:
Então, a integral dupla agora se reduz a:

Passo 6

Vamos integrar em relação a , de a :
Primeiro, calculamos . A integral de é , então:
Multiplicando por 4, temos .
Agora, calculamos avaliado de a :
Multiplicando por , temos .

Passo 7

Finalmente, somamos os dois resultados obtidos:
Portanto, o volume do conjunto é .

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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