Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre a região definida por , e . Vamos usar conhecimento de integrais múltiplas e integração por substituição para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela está delimitada por:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 até .
Para cada , varia de 0 a 1.
Como a função não depende de nem de , podemos simplificar a integral dividindo-a em integrais iteradas.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . A integral em fica:
Isso porque é constante em relação a .
Passo 4
Agora, integramos em relação a :
Novamente, é constante em relação a .
Passo 5
Por fim, restou só a integração em relação a :
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.
Passo 6
Vamos fazer a substituição . Então, ou . Substituindo na integral: