Calcule as integrais: integral triplaE e^x^2 d V, E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= x, 0 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre a região definida por , e . Vamos usar conhecimento de integrais múltiplas e integração por substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está delimitada por:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 até .
  • Para cada , varia de 0 a 1.
Como a função não depende de nem de , podemos simplificar a integral dividindo-a em integrais iteradas.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 e^x^2 dz = e^x^2 times (1 - 0) = e^x^2 . A integral em fica:
Isso porque é constante em relação a .

Passo 4

Agora, integramos em relação a integral0^x e^x^2 dy = e^x^2 times (x - 0) = x e^x^2 :
Novamente, é constante em relação a .

Passo 5

Por fim, restou só a integração em relação a integral0^1 x e^x^2 dx :
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.

Passo 6

Vamos fazer a substituição 12 integral0^1 e^u du = 12 ( e^u ) |0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1) . Então, ou . Substituindo na integral:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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