Use a integral tripla para determinar o volume do sólido
: onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o volume de um sólido usando integrais triplas. O enunciado nos dá que o sólido
é definido por:
Isso significa que para cada ponto
no sólido, o valor de
está entre
e
. Vamos precisar usar coordenadas cartesianas e entender como configurar a integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies que limitam o sólido. A parte inferior é dada por
, que é um paraboloide. A parte superior é
, que é um plano. Para encontrar o volume, precisamos determinar a região no plano
onde essas duas superfícies se intersectam.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre
e
. Igualando as duas expressões para
:
Rearranjando os termos:
Para facilitar, completamos os quadrados para
e
:
Isso simplifica para:
Então, a região de interseção no plano
é um círculo de raio 1 com centro em
.
Passo 4
Agora que sabemos a região de integração, vamos configurar a integral tripla. Em coordenadas cartesianas, o volume
é dado por:
Mas primeiro, precisamos determinar os limites de integração para
e
com base no círculo
.
Passo 5
Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de variável, deslocando o centro do círculo para a origem. Vamos definir:
Assim, o círculo fica:
Os limites em termos de
e
serão um círculo de raio 1 centrado na origem, o que é mais fácil de trabalhar, especialmente se usarmos coordenadas polares.
Passo 6
Convertendo para coordenadas polares onde:
E, portanto:
O Jacobiano da transformação de cartesianas para polares é
. Os limites para
são de 0 a 1 e para
de 0 a
.
Passo 7
Agora, expressamos
em termos de
e
. A parte inferior de
é
e a superior é
. Substituindo
e
:
Simplificando essas expressões nos ajudará a configurar a integral.
Passo 8
Simplificando
:
Simplificando
:
Passo 9
Agora, a integral tripla para o volume
fica:
Primeiro, integramos em relação a
:
Isso resulta em:
Simplificando dentro da integral:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Surpreendentemente, o resultado da integral interna é 0, o que indica que o volume calculado é zero. Isso sugere que as duas superfícies se tocam em todo o domínio de integração, o que não faz sentido físico para um volume. Portanto, devemos revisar nossos cálculos.
Passo 11
Reavaliando os cálculos, percebemos que houve um erro na simplificação das expressões de
e
. Vamos corrigir:
Simplificando novamente
:
E
:
Então, a diferença
é:
Portanto, a integral para o volume é:
Passo 12
Agora, integremos em relação a
:
Portanto, a integral se simplifica para:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.