Use a integral tripla para determinar o volume do sólido W : onde W = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 <= z <= 2x - 2y - 1}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o volume de um sólido usando integrais triplas. O enunciado nos dá que o sólido é definido por:
Isso significa que para cada ponto no sólido, o valor de está entre e . Vamos precisar usar coordenadas cartesianas e entender como configurar a integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies que limitam o sólido. A parte inferior é dada por , que é um paraboloide. A parte superior é , que é um plano. Para encontrar o volume, precisamos determinar a região no plano onde essas duas superfícies se intersectam.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre e . Igualando as duas expressões para :
Rearranjando os termos:
Para facilitar, completamos os quadrados para e :
Isso simplifica para:
Então, a região de interseção no plano é um círculo de raio 1 com centro em .

Passo 4

Agora que sabemos a região de integração, vamos configurar a integral tripla. Em coordenadas cartesianas, o volume é dado por:
Mas primeiro, precisamos determinar os limites de integração para e com base no círculo .

Passo 5

Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de variável, deslocando o centro do círculo para a origem. Vamos definir:
Assim, o círculo fica:
Os limites em termos de e serão um círculo de raio 1 centrado na origem, o que é mais fácil de trabalhar, especialmente se usarmos coordenadas polares.

Passo 6

Convertendo para coordenadas polares onde:
E, portanto:
O Jacobiano da transformação de cartesianas para polares é . Os limites para são de 0 a 1 e para de 0 a .

Passo 7

Agora, expressamos em termos de e . A parte inferior de é e a superior é . Substituindo e :
Simplificando essas expressões nos ajudará a configurar a integral.

Passo 8

Simplificando :
Simplificando :

Passo 9

Agora, a integral tripla para o volume fica:
Primeiro, integramos em relação a :
Isso resulta em:
Simplificando dentro da integral:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :
Surpreendentemente, o resultado da integral interna é 0, o que indica que o volume calculado é zero. Isso sugere que as duas superfícies se tocam em todo o domínio de integração, o que não faz sentido físico para um volume. Portanto, devemos revisar nossos cálculos.

Passo 11

Reavaliando os cálculos, percebemos que houve um erro na simplificação das expressões de e . Vamos corrigir:
Simplificando novamente :
E :
Então, a diferença é:
Portanto, a integral para o volume é:

Passo 12

Agora, integremos em relação a :
Portanto, a integral se simplifica para:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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