Use a integral tripla para determinar o volume do sólido W : onde W = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 <= z <= 2 - x^2 - y^2}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido definido por . Vamos usar integrais triplas para calcular esse volume. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração, provavelmente usando coordenadas cilíndricas por causa da simetria circular do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. Temos duas equações:
Essas superfícies se intersectam quando , o que simplifica para . Isso sugere que a base do sólido é um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa coordenada, as equações ficam:
E a interseção ocorre quando , ou seja, . Então, os limites para são de 0 a 1, para de 0 a , e para de a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, é o fator que aparece devido ao jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em :
Agora, a integral fica:
Integrando em :
Então:

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades cúbicas.

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