Calcule as integrais:
integral triplaE(2 x+y-z) d V, em que E=(x, y, z) in R^3 ;-2 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas. A gente precisa calcular a integral de 2x + y - z sobre a região E no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, mais especificamente a integral tripla, que nos ajuda a somar valores em volume. Precisamos entender os limites de integração para x, y e z que definem a região E.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • Para x, está entre -2 e 1.
  • Para y, está entre 0 e 1.
  • Para z, está entre 0 e 2.
Isso significa que vamos integrar x de -2 a 1, y de 0 a 1, e z de 0 a 2.

Passo 3

A integral tripla que precisamos calcular fica assim:
integral triplaE (2x + y - z) , dV = integral-2^1 integral0^1 integral0^2 (2x + y - z) , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a z.

Passo 4

Primeiro, integramos 2x + y - z em relação a z, mantendo x e y como constantes:
integral0^2 (2x + y - z) , dz = [2x z + y z - 12 z^2]0^2
Agora, substituímos z = 2 e z = 0:
= (2x cdot 2 + y cdot 2 - 12 cdot 2^2) - (2x cdot 0 + y cdot 0 - 12 cdot 0^2)
= (4x + 2y - 2) - 0
= 4x + 2y - 2

Passo 5

Agora, a integral fica reduzida para duas variáveis:
integral-2^1 integral0^1 (4x + 2y - 2) , dy , dx
Vamos integrar primeiro em relação a y:
integral0^1 (4x + 2y - 2) , dy = [4x y + y^2 - 2y]0^1
Substituímos y = 1 e y = 0:
= (4x cdot 1 + 1^2 - 2 cdot 1) - (4x cdot 0 + 0^2 - 2 cdot 0)
= (4x + 1 - 2) - 0
= 4x - 1

Passo 6

Agora, resta apenas integrar em relação a x:
integral-2^1 (4x - 1) , dx = [2x^2 - x]-2^1
Substituímos x = 1 e x = -2:
= (2 cdot 1^2 - 1) - (2 cdot (-2)^2 - (-2))
= (2 - 1) - (8 + 2)
= 1 - 10
= -9

Resposta

O valor da integral tripla é -9.

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