Calcule as integrais:
, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas. A gente precisa calcular a integral de
sobre a região
no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, mais especificamente a integral tripla, que nos ajuda a somar valores em volume. Precisamos entender os limites de integração para
,
e
que definem a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
- Para
, está entre e . - Para
, está entre e . - Para
, está entre e .
Isso significa que vamos integrar
de
a
,
de
a
, e
de
a
.
Passo 3
A integral tripla que precisamos calcular fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a
.
Passo 4
Primeiro, integramos
em relação a
, mantendo
e
como constantes:
Agora, substituímos
e
:
Passo 5
Agora, a integral fica reduzida para duas variáveis:
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Substituímos
e
:
Passo 6
Agora, resta apenas integrar em relação a
:
Substituímos
e
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.