Calcule as integrais
integral triplaR x^2 y cos (x y z) d V onde R=(x, y, z) in R^3 mid 0 <= x <= pi / 4,0 <= y <= 1,1 <= z <= 3

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral triplaR x^2ycos(xyz),dV
onde
R=(x,y,z)inR^3mid 0<= x<= pi/4,;0<= y<=1,;1<= z<=3
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para fatorar a integral e técnicas elementares de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicando Fubini e integrando primeiro em z, para x,y fixos temos
integral1^3cos(xyz),dz =1xyl[sin(xyz)r]z=1^3 =1xyl(sin(3xy)-sin(xy)r)
Multiplicando por x^2y do integrando original, a integral vira
integral dupla0<= x<=pi/4,;0<= y<=1 x^2ycdot1xyl(sin(3xy)-sin(xy)r),dy,dx =integral dupla xl(sin(3xy)-sin(xy)r),dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y: para kin1,3 vale
integral0^1sin(kxy),dy =1kxl[1-cos(kx)r]
Logo
integral0^1l(sin(3xy)-sin(xy)r),dy =13xl(1-cos(3x)r) -1xl(1-cos(x)r)
Multiplicando pelo fator x que estava fora, obtemos uma integral em x só:
integral0^pi/4l(tfrac13(1-cos(3x))-(1-cos(x))r),dx

Passo 4

Simplificando o integrando:
tfrac13-tfrac13cos(3x)-1+cos(x) =-tfrac23+cos(x)-tfrac13cos(3x)
Integramos termo a termo:
integrall(-tfrac23r)dx=-tfrac23x, integralcos(x),dx=sin(x), integral-tfrac13cos(3x),dx=-tfrac19sin(3x)
Logo um primitivo é
F(x)=-tfrac23x+sin(x)-tfrac19sin(3x)

Passo 5

Avaliando de 0 a pi/4:
Fl(tfracpi4r) =-tfrac23cdottfracpi4+sinl(tfracpi4r) -tfrac19sinl(tfrac3pi4r) =-tfracpi6+tfracraiz22-tfrac19tfracraiz22 =-tfracpi6+tfrac4raiz29,
e F(0)=0. Portanto a integral vale

Resposta

4raiz29-pi6

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