Calcule as integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Esse problema envolve integração de funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição e reconhecimento de derivadas que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Vamos calcular a derivada desse denominador para ver se ela se relaciona com o numerador:
Perceba que o numerador da nossa integral é
, que é bem parecido com a derivada que acabamos de encontrar (
). Isso nos dá uma dica de que podemos separar o numerador de forma que uma parte dele seja exatamente a derivada do denominador.
Vamos reescrever o numerador:
Agora, a integral fica dividida em duas partes:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
.
Aqui, reconhecemos que o numerador
é a derivada do denominador
. Quando temos uma integral na forma
, ela resulta no logaritmo natural de
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
.
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Aqui,
e
, então:
Passo 5
Finalmente, juntando as duas partes que resolvemos:
Resposta
A integral é igual a
.