Calcule as integrais: integral 2 x+1x^2+2 x+2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse problema envolve integração de funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição e reconhecimento de derivadas que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: ddx(x^2 + 2x + 2) = 2x + 2 . Vamos calcular a derivada desse denominador para ver se ela se relaciona com o numerador:
2x + 1 = (2x + 2) - 1
Perceba que o numerador da nossa integral é integral 2x + 1x^2 + 2x + 2 , dx = integral 2x + 2x^2 + 2x + 2 , dx - integral 1x^2 + 2x + 2 , dx , que é bem parecido com a derivada que acabamos de encontrar ( ). Isso nos dá uma dica de que podemos separar o numerador de forma que uma parte dele seja exatamente a derivada do denominador.
Vamos reescrever o numerador:
Agora, a integral fica dividida em duas partes:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral 2x + 2x^2 + 2x + 2 , dx = ln|x^2 + 2x + 2| + C .
Aqui, reconhecemos que o numerador é a derivada do denominador . Quando temos uma integral na forma , ela resulta no logaritmo natural de .
Então,

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1 .
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado no denominador:
integral 1(x + 1)^2 + 1 , dx
Agora, a integral fica:
integral 1(x + 1)^2 + 1 , dx = arctan(x + 1) + C
Sabemos que a integral de em relação a é . Aqui, e , então:

Passo 5

Finalmente, juntando as duas partes que resolvemos:
integral 2x + 1x^2 + 2x + 2 , dx = ln|x^2 + 2x + 2| - arctan(x + 1) + C

Resposta

A integral é igual a .

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