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Seja f: [-1, +infinito) -> R a função dada por f(x) = raiz(x + 1) - x.
(a) Determine f^(-1) {1} e f^(-1)(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida para no intervalo . O que a gente precisa encontrar aqui é o conjunto dos valores de que, quando colocados na função , resultam em 1 e 2. Em outras palavras, queremos descobrir e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o conjunto de todos os tais que . Então, para achar , precisamos resolver a equação . Da mesma forma, para , resolvemos .

Passo 3

Vamos começar com :
Vamos isolar a raiz quadrada:
Agora, pra eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para resolver:
Fatorando:
Então, as soluções são:

Passo 5

Precisamos verificar se essas soluções estão dentro do domínio da função, que é .
Para :
Para :
Ambos funcionam!

Passo 6

Agora, vamos resolver :
Isolando a raiz quadrada:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Trazer todos os termos para um lado:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :

Passo 8

Aqui, temos uma raiz quadrada de um número negativo, o que não existe nos números reais. Portanto, não há solução real para .

Resposta

e .

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