Seja f: R-{1} -> R a função dada por f(x) = (3x - 2) / (x - 1).
(b) Determine im(f) e decida se f é, ou não, sobrejetora.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por , onde pode ser qualquer número real exceto 1. O que a gente precisa descobrir aqui é qual é a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. Além disso, vamos verificar se a função é sobrejetora, o que significa que ela atinge todos os valores possíveis no conjunto de chegada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é imagem de uma função. A imagem de consiste em todos os valores para os quais existe um no domínio tal que . Ou seja, queremos encontrar todos os possíveis que a função pode produzir.

Passo 3

Vamos resolver a equação para em termos de . Isso nos ajudará a entender quais valores de são possíveis.
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Distribuindo o :
Agora, vamos agrupar os termos com de um lado e os constantes do outro:
Fatorando no lado esquerdo:
Finalmente, isolando :
Essa expressão mostra como depende de .

Passo 4

Agora, para que a solução faça sentido, o denominador não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto:
Isso significa que não existe nenhum valor de que faça . Logo, 3 não está na imagem da função.

Passo 5

Portanto, a imagem de é todos os números reais menos 3. Em notação matemática:

Passo 6

Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se toda a imagem está contenida no conjunto de chegada da função. Como a imagem inclui todos os números reais menos 3, e a função mapeia para , falta apenas esse valor específico.

Passo 7

Como existe pelo menos um valor (no caso, 3) que não é atingido pela função, concluímos que não é sobrejetora.

Resposta

A imagem da função é e não é sobrejetora.

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