Seja
a função dada por
.
(b) Determine
e decida se
é, ou não, sobrejetora.
(b) Determine
Passo 1
Vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
, onde
pode ser qualquer número real exceto 1. O que a gente precisa descobrir aqui é qual é a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Além disso, vamos verificar se a função é sobrejetora, o que significa que ela atinge todos os valores possíveis no conjunto de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é imagem de uma função. A imagem de
consiste em todos os valores
para os quais existe um
no domínio tal que
. Ou seja, queremos encontrar todos os
possíveis que a função pode produzir.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para
em termos de
. Isso nos ajudará a entender quais valores de
são possíveis.
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o
:
Agora, vamos agrupar os termos com
de um lado e os constantes do outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolando
:
Essa expressão mostra como
depende de
.
Passo 4
Agora, para que a solução faça sentido, o denominador
não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto:
Isso significa que não existe nenhum valor de
que faça
. Logo, 3 não está na imagem da função.
Passo 5
Portanto, a imagem de
é todos os números reais menos 3. Em notação matemática:
Passo 6
Para verificar se
é sobrejetora, precisamos ver se toda a imagem
está contenida no conjunto de chegada da função. Como a imagem inclui todos os números reais menos 3, e a função mapeia para
, falta apenas esse valor específico.
Passo 7
Como existe pelo menos um valor (no caso, 3) que não é atingido pela função, concluímos que
não é sobrejetora.
Resposta
A imagem da função
é
e
não é sobrejetora.