Calcule as integrais:
integral x tg^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral xtan^2 x,dx. O conteúdo envolve identidades trigonométricas e integração por partes; vamos usar a identidade tan^2 x=sec^2 x-1 e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Reescrevendo a integral com a identidade trigonométrica:
integral xtan^2 x,dx =integral x(sec^2 x-1),dx =integral xsec^2 x,dx-integral x,dx

Passo 3

Para calcular integral xsec^2 x,dx, aplicamos integração por partes escolhendo:
  • u=x e dv=sec^2 x,dx
  • Então du=dx e v=tan x, pois integralsec^2 x,dx=tan x.
Logo:
integral xsec^2 x,dx = xtan x - integral tan x,dx

Passo 4

Sabemos que integral tan x,dx=-ln|cos x| e integral x,dx=x^22. Portanto:
integral xsec^2 x,dx = xtan x + ln|cos x|
integral x,dx = x^22

Passo 5

Voltando à integral original, juntamos os resultados:
integral xtan^2 x,dx = l(xtan x + ln|cos x|r) - x^22 + C

Resposta

xtan x + ln|cos x| - tfracx^22 + C

Exercícios relacionados