Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com integração racional, que envolve frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar substituição e entender como lidar com expressões quadráticas no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. A ideia é completar o quadrado para facilitar a integração.
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática de forma que possamos identificar uma forma padrão conhecida.
Vamos lá:
Então, nosso denominador fica
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador
. Queremos expressá-lo em termos de
para combinar com o denominador:
Então, a integral fica:
Podemos separar isso em duas integrais:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
.
Aqui, fazemos uma substituição simples. Vamos definir:
Então,
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
.
Aqui, reconhecemos a forma da integral que se assemelha a
.
Identificando:
Então, a integral fica:
Resposta
Juntando as duas partes, a integral completa é:
Onde
é a constante de integração.