Calcule as integrais:
integral x+4x^2+2 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x+4x^2+2x+5 , dx. Aqui, estamos lidando com integração racional, que envolve frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar substituição e entender como lidar com expressões quadráticas no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^2 + 2x + 5. A ideia é completar o quadrado para facilitar a integração.
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática de forma que possamos identificar uma forma padrão conhecida.
Vamos lá:
x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4
Então, nosso denominador fica (x + 1)^2 + 4.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador x + 4. Queremos expressá-lo em termos de (x + 1) para combinar com o denominador:
x + 4 = (x + 1) + 3
Então, a integral fica:
integral (x + 1) + 3(x + 1)^2 + 4 , dx
Podemos separar isso em duas integrais:
integral x + 1(x + 1)^2 + 4 , dx + integral 3(x + 1)^2 + 4 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: integral x + 1(x + 1)^2 + 4 , dx.
Aqui, fazemos uma substituição simples. Vamos definir:
u = (x + 1)^2 + 4
Então,
dudx = 2(x + 1)
du2 = (x + 1) , dx
Substituindo na integral:
integral x + 1(x + 1)^2 + 4 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln((x + 1)^2 + 4) + C

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral 3(x + 1)^2 + 4 , dx.
Aqui, reconhecemos a forma da integral que se assemelha a integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C.
Identificando:
u = x + 1
a^2 = 4 Rightarrow a = 2
du = dx
Então, a integral fica:
integral 3(x + 1)^2 + 4 , dx = 3 cdot 12 arctan(x + 12) + C = 32 arctan(x + 12) + C

Resposta

Juntando as duas partes, a integral completa é:
integral x+4x^2+2x+5 , dx = 12 ln(x^2 + 2x + 5) + 32 arctan(x + 12) + C
Onde C é a constante de integração.

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