Calcule as integrais
integral 2 xraiz1-4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2xraiz1-4x^2,dx
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição que transforme o radicando em uma variável nova, facilitando a integração.

Passo 2

Vamos definir a substituição
u = 1 - 4x^2
Diferenciando, obtemos
du = -8x,dx Longrightarrow x,dx = -18,du
Assim, 2x,dx = -28,du = -tfrac14,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 2xraiz1-4x^2,dx = integral -tfrac14,duraizu = -14 integral u^-tfrac12,du
Para integrar u^-tfrac12, usamos a regra
integral u^alpha,du = u^alpha+1alpha+1 + C,
com alpha = -tfrac12. Logo,
integral u^-tfrac12,du = u^tfrac12tfrac12 = 2,u^tfrac12
Portanto
-14 integral u^-tfrac12,du = -14 cdot 2,u^tfrac12 = -tfrac12,u^tfrac12 + C1

Passo 4

Voltando à variável x, temos u^tfrac12 = raiz1 - 4x^2. Assim a antiderivada fica
-tfrac12,raiz1 - 4x^2 + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

-12,raiz1 - 4x^2 + C

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