Mostre que
dd t(F times F^prime)=F(t) times F^prime prime(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para uma função vetorial suave vec F(t)colonRtoR^3, vale
ddtl(vec F(t)timesvec F'(t)r) =vec F(t)timesvec F''(t)
O conteúdo requerido é a regra do produto para derivada do produto vetorial e a propriedade de que um vetor cruz consigo mesmo é nulo.

Passo 2

Lembramos a regra do produto para derivada de um produto vetorial: se vec A(t) e vec B(t) são funções vetoriais diferenciáveis, então
ddtl(vec Atimesvec Br) =vec A'timesvec B+vec Atimesvec B'

Passo 3

Aplicando essa regra com vec A(t)=vec F(t) e vec B(t)=vec F'(t), obtemos
ddtl(vec Ftimesvec F'r) =vec F'timesvec F'+vec Ftimesvec F''

Passo 4

Usamos agora a propriedade do produto vetorial de que qualquer vetor cruzado com ele mesmo é o vetor nulo, isto é,
vec F'(t)timesvec F'(t)=vec0
Portanto sobra
ddtl(vec Ftimesvec F'r) =vec0+vec Ftimesvec F'' =vec Ftimesvec F''

Resposta

ddtl(vec F(t)timesvec F'(t)r) =vec F(t)timesvec F''(t)

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