Demonstre que, para as potências pares de seno,
integral0^pi / 2 sen^2 n x d x=3 cdot 5 cdot 7 cdot cdots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot 2 n pi2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>=1,
integral0^pi/2sin^2nx,dx =3cdot5cdot7cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n);pi2
O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas de potências de função trigonométrica, usando integração por partes e uma relação de recorrência.

Passo 2

Definimos
I2n=integral0^pi/2sin^2nx,dx
Para obter uma relação entre I2n e I2n-2, fazemos integração por partes escolhendo
,u=sin^2n-1x e dv=sin x,dx.
Então
du=(2n-1)sin^2n-2xcos x,dx, v=-cos x,
e a fórmula de partes dá
I2n =l[u,vr]0^pi/2-integral0^pi/2v,du =underbracel[-sin^2n-1xcos xr]0^pi/20 +(2n-1)integral0^pi/2sin^2n-2xcos^2x,dx

Passo 3

Como cos^2x=1-sin^2x, o último integral é
(2n-1)l(integral0^pi/2sin^2n-2x,dx -integral0^pi/2sin^2nx,dxr) =(2n-1)l(I2n-2-I2nr)
Logo
I2n=(2n-1)l(I2n-2-I2nr) Longrightarrow 2n,I2n=(2n-1),I2n-2 Longrightarrow I2n=2n-12n,I2n-2

Passo 4

Sabemos que
I0=integral0^pi/21,dx=pi2
Aplicando recursivamente
I2n=2n-12nI2n-2 =2n-12ncdot2n-32n-2,I2n-4 =cdots =prodk=1^n2k-12k;I0,
obtém-se
I2n =1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n);pi2
Isso coincide com a forma pedida, pois o fator 1 no numerador é neutro e geralmente não se escreve.

Resposta

integral0^pi/2sin^2nx,dx =3cdot5cdot7cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n);pi2

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