Demonstre que, para as potências pares de seno,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
,
O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas de potências de função trigonométrica, usando integração por partes e uma relação de recorrência.
Passo 2
Definimos
Para obter uma relação entre
e
, fazemos integração por partes escolhendo
e
.
Então
Então
e a fórmula de partes dá
Passo 3
Como
cos^2x=1-sin^2x , o último integral é
Logo
Passo 4
Sabemos que
Aplicando recursivamente
I2n=2n-12nI2n-2 =2n-12ncdot2n-32n-2,I2n-4 =cdots =prodk=1^n2k-12k;I0,
obtém-se
obtém-se
Isso coincide com a forma pedida, pois o fator
1 no numerador é neutro e geralmente não se escreve.