Suponha que
é paralelo á
para todo
. Mostre que
é constante.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função vetorial
tal que, para todo
,
é paralelo a
. Queremos mostrar que o vetor
não varia com
, isto é, é constante. Para isso vamos usar a regra de derivação do produto vetorial e a propriedade de que vetores paralelos têm produto vetorial zero.
Passo 2
Aplicamos a regra de derivação do produto vetorial, que diz que se
e
são funções vetoriais de
, então
Aqui tomamos
e
, obtendo
Passo 3
Note que o termo
é sempre o vetor zero, pois o produto vetorial de um vetor por si mesmo é nulo. Além disso, pela hipótese
, temos
. Logo
Passo 4
Como a derivada de
é o vetor zero, concluímos que
é constante em
.