Suponha que F(t) é paralelo á F^prime prime(t) para todo t. Mostre que F times F^prime é constante.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função vetorial F(t) tal que, para todo t, F(t) é paralelo a F''(t). Queremos mostrar que o vetor F(t)times F'(t) não varia com t, isto é, é constante. Para isso vamos usar a regra de derivação do produto vetorial e a propriedade de que vetores paralelos têm produto vetorial zero.

Passo 2

Aplicamos a regra de derivação do produto vetorial, que diz que se u e v são funções vetoriais de t, então
ddtl(utimes vr) =u'times v+utimes v'
Aqui tomamos u=F e v=F', obtendo
ddtl(Ftimes F'r) =F'times F'+Ftimes F''

Passo 3

Note que o termo F'times F' é sempre o vetor zero, pois o produto vetorial de um vetor por si mesmo é nulo. Além disso, pela hipótese Fparal<=l F'', temos Ftimes F''=0. Logo
ddtl(Ftimes F'r) =0+0 =0

Passo 4

Como a derivada de Ftimes F' é o vetor zero, concluímos que F(t)times F'(t) é constante em t.

Resposta

F(t)times F'(t) é um vetor constante.

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