Calcule as integrais.
Passo 1
A gente quer calcular a integral definida
. Isso é um exercício de integração de funções racionais, em que vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois separar a integral em duas partes que dão logaritmo e arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, completamos o quadrado no denominador. Note que
Passo 3
Agora, queremos usar o fato de que a derivada de
é
. Então escrevemos o numerador
como combinação de
:
Isso permite quebrar a integral em duas: uma que dá ln e outra que dá arctan.
Passo 4
Dividindo a integral, temos
A primeira parte é
e a segunda é
, logo o antiderivado geral é
Passo 5
Por fim, avaliamos de
a
:
- Em
: . - Em
: dá e , então
$$F(-5)=\frac{1}{2}\ln(18)+\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\ln(18)+\frac{\pi}{6}.
= -\frac{1}{2}\ln2 - \frac{\pi}{6}.
$$
Resposta
-\tfrac{1}{2}\ln2 - \tfrac{\pi}{6}