Calcule as integrais.
integral-5^-2 xx^2+4 x+13 d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida integral-5^-2 xx^2+4x+13 ,dx. Isso é um exercício de integração de funções racionais, em que vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois separar a integral em duas partes que dão logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador. Note que
x^2+4x+13 = (x^2+4x+4)+9 = (x+2)^2 + 9

Passo 3

Agora, queremos usar o fato de que a derivada de (x+2)^2+9 é 2(x+2)=2x+4. Então escrevemos o numerador x como combinação de 2x+4:
x = 12(2x+4) - 2
Isso permite quebrar a integral em duas: uma que dá ln e outra que dá arctan.

Passo 4

Dividindo a integral, temos
integral x(x+2)^2+9dx = 12integral 2x+4(x+2)^2+9dx - 2integral 1(x+2)^2+9dx
A primeira parte é 12lnl((x+2)^2+9r) e a segunda é 23arctanl(x+23r), logo o antiderivado geral é
F(x) = 12lnl((x+2)^2+9r) - 23arctanl(x+23r) + C

Passo 5

Por fim, avaliamos de -5 a -2:
  • Em x=-2: F(-2)=tfrac12ln(9).
  • Em x=-5: x+2=-3 (x+2)^2+9=18 e arctan(-1)=-tfracpi4, então
$$F(-5)=\frac{1}{2}\ln(18)+\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\ln(18)+\frac{\pi}{6}.
F(-5)=12ln(18)+23cdotpi4=12ln(18)+pi6 éF(-2)-F(-5)=\frac{1}{2}\ln9 - \Bigl(\frac{1}{2}\ln18+\frac{\pi}{6}\Bigr)
= -\frac{1}{2}\ln2 - \frac{\pi}{6}.
$$

Resposta

-\tfrac{1}{2}\ln2 - \tfrac{\pi}{6}

Exercícios relacionados