Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral aí juntos! O que a gente tem é a integral de
1 / (x * ln(x) * [ln(ln x)]²
de 3
até o infinito. Então, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral imprópria porque o limite superior é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte complicada da integral usando substituição. Olha só: se a gente deixar
t = ln(ln x)
, isso vai ajudar a simplificar a integral. Agora, precisamos achar dt/dx
para fazer a substituição direitinho.Passo 3
Calculando a derivada de
t
em relação a x
:t = ln(ln x)
dt/dx = (1 / ln x) * (1 / x)
Então,
dt = (1 / (x * ln x)) dx
. Reorganizando isso, temos dx = x * ln x * dt
.Passo 4
Agora, vamos substituir na integral original. Substituindo
t
e dx
na integral, ficamos com:∫ [1 / (x * ln x * t²)] * (x * ln x) dt = ∫ 1 / t² dt
Viu como a expressão ficou mais simples? Agora, a gente vai integrar
1 / t²
em relação a t
.Passo 5
Integrando
1 / t²
, a gente tem:∫ 1 / t² dt = -1 / t + C
Agora, precisamos colocar de volta os limites de integração. Quando
x = 3
, t = ln(ln 3)
. Quando x
tende ao infinito, ln x
também tende ao infinito, então t = ln(ln x)
também tende ao infinito.Passo 6
Aplicando os limites na antiderivada:
lim (x -> ∞) [-1 / t] - [-1 / t] com t = ln(ln 3)
Como
t
vai para o infinito, -1 / t
tende a 0
. Então, temos:0 - (-1 / ln(ln 3)) = 1 / ln(ln 3)
Resposta
O valor da integral é
1 / ln(ln 3)
.