Calcule as integrais.
integral3^infty 1x ln x[ln (ln x)]^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral aí juntos! O que a gente tem é a integral de 1 / (x * ln(x) * [ln(ln x)]² de 3 até o infinito. Então, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral imprópria porque o limite superior é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte complicada da integral usando substituição. Olha só: se a gente deixar t = ln(ln x), isso vai ajudar a simplificar a integral. Agora, precisamos achar dt/dx para fazer a substituição direitinho.

Passo 3

Calculando a derivada de t em relação a x:
t = ln(ln x)
dt/dx = (1 / ln x) * (1 / x)
Então, dt = (1 / (x * ln x)) dx. Reorganizando isso, temos dx = x * ln x * dt.

Passo 4

Agora, vamos substituir na integral original. Substituindo t e dx na integral, ficamos com:
∫ [1 / (x * ln x * t²)] * (x * ln x) dt = ∫ 1 / t² dt
Viu como a expressão ficou mais simples? Agora, a gente vai integrar 1 / t² em relação a t.

Passo 5

Integrando 1 / t², a gente tem:
∫ 1 / t² dt = -1 / t + C
Agora, precisamos colocar de volta os limites de integração. Quando x = 3, t = ln(ln 3). Quando x tende ao infinito, ln x também tende ao infinito, então t = ln(ln x) também tende ao infinito.

Passo 6

Aplicando os limites na antiderivada:
lim (x -> ∞) [-1 / t] - [-1 / t] com t = ln(ln 3)
Como t vai para o infinito, -1 / t tende a 0. Então, temos:
0 - (-1 / ln(ln 3)) = 1 / ln(ln 3)

Resposta

O valor da integral é 1 / ln(ln 3).

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