Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y ; fx x y, fx y x

Passo 1

A questão pede pra gente achar as derivadas parciais de terceira ordem fxxy e fxyx de f(x,y)=x^4y^2 - x^3y. O conteúdo envolvido é regra de derivada de potência e produto, além da ideia de derivadas parciais mistas.

Passo 2

Vamos primeiro achar fx = partial fpartial x. Como f(x,y)=x^4y^2 - x^3y, aplicamos a regra da potência em x (tratando y como constante):
fx = 4x^3y^2 - 3x^2y

Passo 3

Agora derivamos fx de novo em relação a x para obter fxx = partial^2fpartial x^2. De novo potência em x com y fixo:
fxx = 12x^2y^2 - 6xy

Passo 4

Para fxxy = partialpartial y(fxx), derivamos fxx em relação a y, agora tratando x como constante e aplicando potência em y:
fxxy = 24x^2y - 6x

Passo 5

Para fxyx, seguimos outra ordem: primeiro fxy = partialpartial y(fx). Derivando fx=4x^3y^2 -3x^2y em y:
fxy = 8x^3y - 3x^2
Depois derivamos fxy em x para achar fxyx:
fxyx = 24x^2y - 6x
Repara que as duas derivadas mistas coincidem, como esperado pela igualdade das derivadas parciais mistas.

Passo 6

Chegamos, portanto, que ambas as derivadas pedidas são iguais e valem 24x^2y - 6x.

Resposta

fxxy = 24x^2y - 6x, fxyx = 24x^2y - 6x

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