Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
Passo 1
A questão pede pra gente achar as derivadas parciais de terceira ordem
e
de
. O conteúdo envolvido é regra de derivada de potência e produto, além da ideia de derivadas parciais mistas.
Passo 2
Vamos primeiro achar
. Como
, aplicamos a regra da potência em
(tratando
como constante):
Passo 3
Agora derivamos
de novo em relação a
para obter
. De novo potência em
com
fixo:
Passo 4
Para
, derivamos
em relação a
, agora tratando
como constante e aplicando potência em
:
Passo 5
Para
, seguimos outra ordem: primeiro
. Derivando
em
:
Depois derivamos
em
para achar
:
Repara que as duas derivadas mistas coincidem, como esperado pela igualdade das derivadas parciais mistas.
Passo 6
Chegamos, portanto, que ambas as derivadas pedidas são iguais e valem
.