Calcule as integrais.
integral xx^2+6 x+10 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xx^2+6x+10,dx
Aqui o conteúdo é integração de função racional e vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois fazer divisão do numerador para separar em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
x^2+6x+10 = (x+3)^2 + 1

Passo 3

Faça a mudança de variável
u = x+3, du = dx,
então x = u-3 e o elemento dx vira du. A integral fica
integral xx^2+6x+10,dx = integral u-3u^2+1,du

Passo 4

Separe a integral em duas:
integral u-3u^2+1,du = integral uu^2+1,du - 3integral 1u^2+1,du

Passo 5

Calcule cada parte:
  1. integral uu^2+1,du.
    Use a substituição v = u^2+1, dv = 2u,du, logo integral uu^2+1,du = 12integral dvv = 12lnl|vr| + C1 = 12lnl(u^2+1r) + C1
  2. integral 1u^2+1,du = arctan(u) + C2

Passo 6

Juntando os resultados e absorvendo as constantes num único C:
integral u-3u^2+1,du = 12lnl(u^2+1r) - 3arctan(u) + C

Passo 7

Volte a variável x, lembrando u = x+3:
integral xx^2+6x+10,dx = 12lnl((x+3)^2+1r) - 3arctan(x+3) + C

Resposta

boxed integral xx^2+6x+10,dx = 12lnl((x+3)^2+1r) - 3arctan(x+3) + C

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