Questão 1: ( 2,0 pontos) Determine o campo vetorial gradiente nabla f de f :
f(x, y)=e^s e n x+y^2

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^sin x + y^2. O conteúdo aqui é campo vetorial gradiente, e vamos precisar usar derivadas parciais e a definição de gradiente.

Passo 2

Por definição, o gradiente de f é nabla f=(partial f/partial x,,partial f/partial y). Observamos que f(x,y)=e^u(x,y) com u(x,y)=sin x + y^2, então usaremos a regra da cadeia para derivar.

Passo 3

Para calcular partial f/partial x, aplicamos a regra da cadeia: partial f/partial x=e^ucdot(partial u/partial x). Como partial u/partial x=cos x, segue partial f/partial x=cos x,e^sin x + y^2.

Passo 4

Para calcular partial f/partial y, usamos novamente a regra da cadeia: partial f/partial y=e^ucdot(partial u/partial y). Como partial u/partial y=2y, obtemos partial f/partial y=2y,e^sin x + y^2.

Passo 5

Agora reunimos as derivadas parciais no vetor gradiente para finalizar a solução.

Resposta

nabla f(x,y)=(cos x,e^sin x + y^2,,2y,e^sin x + y^2)

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