Calcule as integrais usando o método das frações parciais.
integral 5x(x^2-9) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 5x,(x^2-9),dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo envolvido é a decomposição de funções racionais em termos simples de 1/x, 1/(x-3) e 1/(x+3), seguida da integração de cada termo.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Suponha
5x,(x-3)(x+3) = Ax + Bx-3 + Cx+3
Multiplicando ambos os lados por x,(x-3)(x+3), obtemos
5 = A,(x-3)(x+3) + B,x(x+3) + C,x(x-3)
Expandindo cada termo:
5 = A(x^2-9) + B(x^2+3x) + C(x^2-3x) = (A+B+C)x^2 + (3B-3C)x -9A

Passo 3

Comparando coeficientes de potências de x na identidade
(A+B+C)x^2 + (3B-3C)x -9A = 5,
vemos que
A+B+C = 0, 3B-3C = 0, -9A = 5
Da terceira equação vem
A = -59
Da segunda, 3B=3C implica B=C. Substituindo em A+B+C=0:
-59 + 2B = 0 Longrightarrow B = C = 518
Logo
5x(x^2-9) = -59,1x + 518,1x-3 + 518,1x+3

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 5x(x^2-9),dx = -59integral dxx + 518integral dxx-3 + 518integral dxx+3
Cada uma é um logaritmo:
-59lnl|xr| + 518lnl|x-3r| + 518lnl|x+3r| + C

Passo 5

Podemos combinar os dois últimos logaritmos:
518lnl|x-3r| + 518lnl|x+3r| = 518lnl|x^2-9r|
Assim a forma mais enxuta é
integral 5x(x^2-9),dx = 518lnl|x^2-9r| - 59lnl|xr| + C

Resposta

boxed integral 5x(x^2-9),dx = 518lnl|x^2-9r| - 59lnl|xr| + C

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