Questão 3: Determine o valor de a e k para que a função abaixo seja continua:
f(x, y)=l 3(x+y)^2+a(x+y)+a+3(x+y)^2+(x+y)-2 ; se (x, y) neq(-2,0) k+1 ; se (x, y)=(-2,0)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a e k de modo que a função de duas variáveis seja contínua em (−2,0). O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis e limites, e vamos precisar usar a definição de continuidade (limite coincide com o valor no ponto) e fatoração de polinômios.

Passo 2

Para que f seja contínua em (−2,0), precisamos que
lim(x,y)to(-2,0)f(x,y) = f(-2,0) = k+1
Então o primeiro passo é calcular o limite da parte racional quando (x,y)→(−2,0).
Observe que a expressão depende apenas de t = x+y. O denominador é
t^2 + t - 2 = (t+2)(t-1)
Vemos que em t=−2 o denominador zera, então precisamos que o numerador também anule esse fator para ter limite finito.

Passo 3

O numerador é 3t^2 + a t + a + 3. Impomos que ele zere em t=−2:
3(-2)^2 + a(-2) + a + 3 = 0 implies 12 -2a + a +3 = 0 implies 15 - a = 0 implies a = 15
Com a=15, o numerador fica 3t^2 +15t +18 = 3(t+2)(t+3). Cancelando o fator (t+2) e usando t→−2, obtemos a forma simplificada
f(x,y) = 3(t+2)(t+3)(t+2)(t-1) = 3(t+3)t-1,
após cancelamento, e portanto
lim(x,y)to(-2,0)f(x,y) = 3-2+3-2-1 = 31-3 = -1

Passo 4

Finalmente, pela definição de continuidade, precisamos de k+1 = -1, o que leva a k = -2.

Resposta

a = 15, k = -2

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