Questão 3: Determine o valor de
e
para que a função abaixo seja continua:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de a e k de modo que a função de duas variáveis seja contínua em (−2,0). O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis e limites, e vamos precisar usar a definição de continuidade (limite coincide com o valor no ponto) e fatoração de polinômios.
Passo 2
Para que f seja contínua em (−2,0), precisamos que
Então o primeiro passo é calcular o limite da parte racional quando (x,y)→(−2,0).
Observe que a expressão depende apenas de . O denominador é
Observe que a expressão depende apenas de
Vemos que em t=−2 o denominador zera, então precisamos que o numerador também anule esse fator para ter limite finito.
Passo 3
O numerador é
. Impomos que ele zere em t=−2:
Com a=15, o numerador fica
. Cancelando o fator (t+2) e usando t→−2, obtemos a forma simplificada
após cancelamento, e portanto
Passo 4
Finalmente, pela definição de continuidade, precisamos de k+1 = -1, o que leva a k = -2.
Resposta
a = 15, k = -2