Calcule as integrais:
integral xx-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de $ \frac{x}{x-6} , dx $. Isso está no campo do Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração $ \frac{x}{x-6} $. Podemos fazer isso dividindo o numerador pelo denominador:
xx-6
Aqui, reescrevemos a fração original como a soma de 1 e $ \frac{6}{x - 6} $. Isso facilita a integração porque agora temos duas partes mais simples para integrar separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (1 + 6x - 6) dx = integral 1 , dx + integral 6x - 6 , dx
A integral de 1 em relação a $ x $ é simplesmente $ x $.

Passo 4

Para a segunda parte, $ \int \frac{6}{x - 6} , dx $, podemos fatorar o 6:
integral 6x - 6 , dx
A integral de $ \frac{1}{x - a} $ em relação a $ x $ é $ \ln|x - a| $. Portanto:
6 integral 1x - 6 , dx

Passo 5

Juntando as duas partes que integramos, temos:
x + 6 ln|x - 6| + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que sempre adicionamos ao resolver integrais indefinidas.

Resposta

integral xx - 6 , dx = x + 6 ln|x - 6| + C

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