Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de $ \frac{x}{x-6} , dx $. Isso está no campo do Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração $ \frac{x}{x-6} $. Podemos fazer isso dividindo o numerador pelo denominador:
Aqui, reescrevemos a fração original como a soma de 1 e $ \frac{6}{x - 6} $. Isso facilita a integração porque agora temos duas partes mais simples para integrar separadamente.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de 1 em relação a $ x $ é simplesmente $ x $.
Passo 4
Para a segunda parte, $ \int \frac{6}{x - 6} , dx $, podemos fatorar o 6:
A integral de $ \frac{1}{x - a} $ em relação a $ x $ é $ \ln|x - a| $. Portanto:
Passo 5
Juntando as duas partes que integramos, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração, que sempre adicionamos ao resolver integrais indefinidas.