Nos exercícios 22 a 29 , calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
22. lx=t^3 y=t^2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica x=t^3, y=t^2 para 1<= t<= 3. O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva em forma paramétrica e vamos usar a fórmula
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=3t^2, dydt=2t
Então o integrando fica
raiz(3t^2)^2+(2t)^2=raiz9t^4+4t^2=traiz9t^2+4,
pois t>=1>0.

Passo 3

Portanto o comprimento de arco é
L=integral1^3traiz9t^2+4,dt
Para resolver essa integral, fazemos a substituição u=9t^2+4, de onde du=18t,dt ou t,dt=du/18.

Passo 4

Com a mudança de variável, a integral vira
L=integralu(1)=13^u(3)=85raizu;du18= rac118integral13^85u^1/2,du
Integrando:
118cdotu^3/23/2=127u^3/2
e avaliando de u=13 a u=85.

Passo 5

Substituindo os limites:
L=127l(85^3/2-13^3/2r) =127l(85raiz85-13raiz13r)

Resposta

L=127l(85raiz85-13raiz13r)

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